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Zur Bepreisung von Aktienindex-Futures
("stock index futures")
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Unter diesem Abschnittstitel
sei im Nachfolgenden ein in Theorie und Anwendung nach wie vor weithin
in Übung stehendes Bewertungsverfahren vorgetragen, das eigens auf die
Ermittlung theoretisch richtiger
Futures-Preise ("fair
value", Gleichgewichtspreis) für alle auf Investitionsobjekte, also
hauptsächlich solche auf Gold, festverzinsliche Wertpapiere, Devisen
usw., einschließlich auf Aktien und deren Indizes lautende Futures-Kontrakte
abstellt. Die Überlegungen hierzu nehmen ihren inhaltlichen Ausgang
von dem an anderer Stelle schon entwickelten
"cost of carry"-Ansatz der
Preisbildung. Die darauf fußende Modellgleichung* hat nachstehende
Gestalt:
F0 = K0
· (1 + c)T
.
Den einzelnen Veränderlichen
dieser Formel sei mit besonderer Rücksicht auf zu bepreisende
Aktienindex-Futures folgende
Bedeutung beigelegt:
F0
= berechneter Aktienindex-Futureskurs zum Zeitpunkt t0; K0
= vorliegender Indexstand gemäß den Kassakursen der Aktien des Index,
beide Werte wieder bezogen auf den gleichen beliebigen Betrachtungszeitpunkt
t0; c = Nettofinanzierungskostensatz p.a.
("cost of carry"-Satz);
T = Dauer der Restlaufzeit des Aktienindex-Futures, ausgedrückt in Jahren,
z.B.: T = 0,25 bei einer gegebenen
Restlaufzeit des Futures von drei Monaten, bei T = 2 von zwei Jahren
usw.
[Anmerkung: Wer
mit stetiger Verzinsung zu rechnen liebt, greift zur Bepreisung von
Aktienindex-Terminkontrakten auf folgende Beziehung zurück:
F0 = K0
· e c · T
, mit e = eulersche Zahl
e, und c = stetiger Nettofinanzierungssatz. Der stetigen Methode liegt
die Annahme eines durchgängigen ("zeitkontinuierlichen") Zahlungsflusses
zugrunde.]
[*
Die Gültigkeit des oben erörterten förmlichen Zusammenhangs,
der für das "pricing" von Aktienindex-Derivaten bestimmend ist, steht
unter dem Zeichen einer ganzen Reihe von Prämissen: Märkte sind frei
von Friktionen, sodass beim Zugang zum Markt niemand ein Hindernis im
Wege steht. Es fallen weder
Transaktionskosten
(wie z.B. Margin-Zahlungen,
Maklergebühren usw.) an noch werden auf die Gesetzmäßigkeiten hinüberwirkend
Steuern erhoben noch verzerren obrigkeitliche Anordnungen bzw. Gesetzgebungsakte
den Wetteifer. Indirekte Transaktionskosten, etwa in der Form eines
"bid-ask"-Spreads, sowie allfällige "uptick"-Regelungen bleiben ebenso
unberücksichtigt. Darüber hinaus sei unterstellt, es herrsche ein völlig
freier Wettbewerb, wobei von jedem einzelnen Markthändler allenfalls
ein verschwindender Einfluss auf die Marktpreisentwicklung im Ganzen
ausgehe (friktionslose "atomistische Märkte", "atomisierte Konkurrenz").
Gesetzt ferner, Marktbeteiligte können
Leerverkäufe uneingeschränkt
auch mit kleinsten Beträgen durchführen. Des Weiteren stehen sämtliche
entscheidungswichtige Nachrichten allen Marktteilnehmern bei vollkommenem
Marktüberblick gleichzeitig und kostenlos zur Verfügung ("symmetrische
Informationen"). Dies führt im Schlussergebnis zu einem im Zeitablauf
starren, einheitlichen Zinssatz, zu dem die Marktpersonen ohne Tragung
von Gefahr Geld nach ihrem Belieben aufnehmen und veranlagen können.
Alle am Verkehr Beteiligten handeln als Marktmenschen immerzu klug auf
den eigenen Vorteil bedacht in dem Sinne, dass sie ihren erwarteten
Wohlfahrtsnutzen bis zum Höchstmaß zu steigern streben, wobei eine genügend
große Anzahl unter ihnen immerfort bereit steht,
bei ungehinderter Verfolgung ihrer
berechtigten Marktinteressen jede Gewinn bringende Arbitragegelegenheit
unverzüglich wahrzunehmen ("Annahme vollkommener Kapitalmärkte").]

Wie die vorstehende Formel
klar vor Augen führt, steht der Indexstand K vom Zifferwert des theoretischen
Futurespreises F dann um einen gewissen Aufpreis oder Abschlag ab, falls
und solange während der Kontraktlaufzeit der Ausdruck gilt: "cost
of carry" C ≠ 0. Ein Unterschied zwischen K und F wird also immer
dann Bestand behaupten können, wenn Finanzierungskosten und Finanzerträge
aus dem Indexportfolio, in erster Linie also die Gewinnanteile (Dividenden),
nicht gerade beiläufig zusammenstimmen. Die zahlenmäßige Differenz zwischen
Index kassa und theoretisch richtigem Aktienindex-Futureskurs eines
gegebenen Betrachtungszeitpunktes innerhalb der Laufzeit trägt in der
fachbezogenen Sprache den Namen "carry-Basis"*.
[* Anzumerken ist,
dass die carry-Basis in der Wirtschaftspraxis abhängig ist von
den einzelnen in die Modellberechnung einfließenden Kosten- und Ertragsgrößen,
die nicht zum geringen Teil im persönlichen finanziellen Umfeld des
jeweiligen Marktteilnehmers ihre Ursache haben, und die sich daher nicht
selten von Handelsperson zu Handelsperson auf das Stärkste unterscheiden
werden, mit der Folge, dass es den (einzig) rechnerisch richtigen
(fairen) Futures-Preis nicht geben kann. Vielmehr wird jeder Fachkundige
seine eigene Berechnungsformel von ganz persönlichem Zuschnitt aufzustellen
wissen.]
Der
Unterschiedsbetrag zwischen beiden Größen rührt, wie durch den Wortinhalt
des Begriffs von "carry" zum Ausdruck gebracht, offenbar geradewegs
her von den laufzeitgebundenen Nettofinanzierungskosten, die für das
Halten eines gleichstrukturierten Aktienportefeuilles in Ansatz kommen.
Das hypothetische Portfolio, das dem zu bewertenden Aktienindex-Futures
untergeben ist, ließe sich schließlich unter wirklichkeitstreuen Verhältnissen
allemal durch entsprechend gleichwertige Geschäftsvorgänge im Wertpapierkassamarkt
in seinem Aufbau nachbilden (duplizieren, replizieren), was zum Ergebnis
eines deckungsgleichen Reinerträgnisses führte ("carrying the stock
forward"). Unter dem Prinzip der Arbitragefreiheit wird es somit
möglich, durch Gegenüberstellung beider Alternativen einen auch fundamental
gerechtfertigten Preis eines Index-Futures auf logisch schlüssige Weise
herzuleiten.* Augenfällig ist, dass der angemessene Stand eines
Aktienindex-Futures unter dem Modell nicht etwa von seiner erwarteten
Rendite, sondern von den antizipierten Dividenden u.dgl.
und dem Sicherheitszinssatz des Laufzeit abhängt.
[* Ebenso gut ermöglicht
das vorstehende Prinzip, durch Umstellung der Formel nach K0
einen angemessenen Stand des Kassaindex abzuleiten, was allemal dann
von praktischer Relevanz ist, wenn nach Handelsschluss des Aktien-Kassamarktes
aus den weiter laufenden Aktienindex-Futureskursen ein indikativer Stand
für den Index gesucht wird.]
Doch
muss man an dieser Stelle den Umstand in Rechnung ziehen, dass es, wie
schon oben angedeutet, sich bei F0 um ein Gedankengebilde
eines modellgestützten, berechneten und damit richtigerweise nur aus
rein theoretischer Sicht um einen Futureskurs ("fair value",
"equilibrium price") eines Aktienindex handelt, der solcherart
augenscheinlich jeder tatsächlichen Beobachtung entrückt ist. Ein solcher
soll den Normalstand des Aktienindex-Futures abspiegeln. Ein "fair value"
unterscheidet sich in aller Regel im Werte um eine Kleinigkeit von seinem
erfahrungsmäßigen Gegenstück: der faktisch festgestellten Preisnotiz
eines Aktienindex-Futures, wie sie vielleicht gleichzeitig in dem Augenblick
seiner Errechnung an einer Terminbörse durch Zusammentreffen von Angebot
und Nachfrage zutage tritt. Es stellt sich sonach die Frage, in welchem
Verhältnis ein modellmäßig kalkulierter Futurespreis zu einem gleich
zu der Zeit wirklich zustande gekommenen Börsenterminkurs steht.
Nun
erweist es sich, dass in Wahrheit Unvollkommenheiten mannigfacher Art
die Strenge der Geltung eines einheitlichen, theoretisch richtigen Terminpreises
in signifikanter Weise lockern. Infolge der Wirkung unzähliger sich
vielfach durchkreuzender realwirtschaftlicher Einflussgrößen verschiedenartigster
Prägung als auch wegen allerlei institutioneller Marktunvollkommenheiten
(Transaktionskosten, Steuern, Leerverkaufshemmnisse etc.) lässt sich
der "cost of carry"-Ansatz nicht mehr mit voller Strenge behaupten.
Als Beobachtungstatbestand einer Börse werden die Futureskurse sich
vielmehr in einer bald mehr bald weniger schmalen Bandbreite um einen
in Parallele gestellten, anhand einer nachprüfbaren Formel ermittelten,
theoretisch richtigen Futurespreis F0 bewegen. Hierzu tritt
der Umstand, dass der "fair value" eines Futures als solcher im praktischen
Sinne keine allumfassende, allgemeingültige Größe abgibt, die für jedermann
unterschiedslos aufrecht steht, sondern aufgrund zahlreicher in der
Eigenpersönlichkeit der Marktbeteiligten liegende Umstände (siehe obiges
Annahmenbündel) selbst mehr nur in eine Variationsbreite mit unscharfen
Rändern hineinfällt. Den Spielraum gewähren der ersterwähnten Bandbreite
("fair range", "no-arbitrage bound", "range of no aribtrage
opportunity") maßgeblich jene Marktteilnehmer, deren "Betriebskosten"
zur Durchführung von Arbitragen am geringsten anzuschlagen sind, namentlich
Mitglieder der Börse und andere kapitalkräftige institutionelle Investoren
("global player"). Je zahlreicher deren sind und je geringer
ihre Betriebskosten insgesamt ansetzen, desto schmaler und schärfer
begrenzt kann das Arbitrage-freie Band sich feststellen, das kein einziger
Arbitrageur mittels Index-Arbitrage zu fruktifizieren mehr imstande
sein wird. − Sprachlich kennzeichnen lässt sich der vorgefundene Unterschiedsbetrag
zwischen dem komputierten Gleichgewichtspreis und dem tatsächlichen
Börsenterminpreis eines Futures bündig mit dem Namen "Wert-Basis"
("value-basis").
Doch worauf beruht die
Wert-Basis des Näheren? Nun, wie vielfach angenommen wird, seien Wurzel
und Maßstab der Wert-Basis zuvörderst in wandelbaren, nicht oder doch
nur schwerlich quantifizierbaren Einflussgrößen zu suchen und zu finden.
Die akkurateren unter diesen Erklärungen leiten in der Hauptsache zurück
auf bestimmte Hypothesen über das Innenleben des Menschen, seine Naturanlage
und Eigenschaften der menschlichen Seele. In weiterer Folge vermittelten
diese in ebenso natürlicher als einleuchtender Weise bestimmte Kurserwartungen,
wobei Letztere meistenteils wieder selbst unter der Einwirkung von Tagesereignissen
oder um sich greifenden Stimmungen an den Märkten stehen, so beispielsweise
Hoffen und Bangen in einem herrschenden "bull"-Markt = Hausse
bzw. "bear"-Markt = Baisse. Aber auch zufällige persönliche Momente,
wie etwa die persönliche Liquiditätslage einzelner Marktteilnehmer (einschl.
Zwangsliquidierungen zur Auflösung von Liquiditätsengpässen, "Notverkäufe"),
Steuereffekten usf., fließen mit in die Bestimmgründe für den Umfang
der Wert-Basis ein. Jeder einzelne dieser Antriebe und Beweggründe hat
dabei zumindest ansatzweise die Tendenz, je nach der gegebenen Ausgangslage
und Verkettung der besonderen Umstände das Kursverhalten in diese oder
jene Richtung zu drängen. Die von den wirkenden Kräften der Wert-Basis
herrührenden Impulse können daher, alles in allem genommen, bald einen
eher schwachen, bald – zumal in den ohnehin schwankungsreicheren (volatilen)
Aktienmärkten – einen gewaltigen, oder bald endlich auch einen nivellierenden,
also sich wechselseitig aufhebend einen weder nach aufwärts noch nach
abwärts drängenden Einfluss auf die Bildung von Futureskursen üben.
Die numerische Differenz
zwischen Futureskurs und Indexstand zur Kasse wird mit verstreichender
Restlaufzeit des Aktienindex-Futures – für gewöhnlich unter mehr oder
weniger regellosen Oszillationen – langsam aber unaufhörlich schrumpfen.
Bis zu seinem Erfüllungszeitpunkt wird der Preis des Aktienindex-Futures
sich dem Indexstand kassa soweit angenähert haben, dass beide Stände
schlussendlich in Übereinstimmung kommen (vgl. darüber auch: der
Basiseffekt von
Futures). Die Bestimmgründe für den Beobachtungssachverhalt eines Basiseffekts
sind doppelter Art: Er lässt sich einerseits zurückführen auf im Laufe
der Zeit abnehmende Nettofinanzierungskosten C, d.h.
auf kontinuierlich sinkende spezifische (positive oder negative) Haltekosten
des (duplizierbaren) Portfolios, und andererseits auf das Erfordernis
des obligatorischen
Barausgleichs
("cash settlement") zur Fälligkeit des Index-Futures. Bestimmend
für die unausgesetzte äußere Aufrechterhaltung der inneren Wechselbeziehung
von Index-Terminkurs und Index-Kassastand in einem wirtschaftlich sinnvollen
Verhältnis sind gewinnmotivierte Marktvorgänge, die, sobald es sich
verlohnt, ohne Zeitverlust und meist selbstwirkend mittels automatisierter
Computerhandelssysteme (ATS) ihren Ausgang nehmen von einer Gruppe spezieller
Marktteilnehmer: den Arbitrageurhändlern.
Kommt nun in einem bestimmt
gegebenem Marktzustand einer meist nur gedachten Wirklichkeit der oben
durch eine Formel ausgedrückte Zusammenhang zwischen Index-Kassastand
und Aktienindex-Futureskurs unter den Bedingungen des
vorgenannten Annahmenbündels zur vollen Geltung,
und adjustiert sich hierdurch und hierunter der beobachtete Futureskurs
nach dem theoretisch richtigen, so nähert sich der Markt damit einem
sogenannten Gleichgewichtszustand, wie ihn die Theorie als idealen Ruhepunkt
kennt. Unter der Botmäßigkeit eines solchen haftet jedem Aktienmarkt
notwendig der charakteristische Wesenszug an, dass ihm jeder Platz mit
Aussicht auf eine gewinnträchtige
Index-Arbitrage genommen
ist. Der Grundsatz der Arbitragefreiheit ist mithin durch Gültigkeit
der voraufgehenden formalen Beziehung logisch schlüssig erzwungen. Der
theoretisch richtige und angemessene Kurs eines Aktienindex-Futures,
so gesehen sein "Normalstand", ist demnach allein sein Arbitrage-freier
Kurs.
Schlüsselt
man den obenstehenden formalisierten zusammengesetzten Ausdruck F0
= K0 · (1 + c)T wie nachfolgend skizziert nach
seinen einzelnen absoluten Größen weiter auf, gewahrt man mit einem
Blick, dass der Futureskurs eines Aktienindex-Futures im Zustand eines
arbitragefreien Marktes dem beobachteten Indexstand des unterliegenden
Aktienindex K plus den gesamten Nettofinanzierungskosten C entspricht,
die für das Halten des zugrunde liegenden hypothetischen Portfolios
bis zum Fälligkeitszeitpunkt auflaufen ("cost of carry").
Zur
Bestimmung des theoretisch untermauerten Preisstandes eines Aktienindex-Futures
zu einem beliebigen Bewertungszeitpunkt t0 erhält man im
Einzelnen beschreibend den folgenden Ansatz:
 |
Aktienindex-Futureskurs
F0 (in Geldwert ausgedrückt, d.h.
berechneter Terminstand des Index, gewichtet mit dem
Indexmultiplikator)
=
|
vorgestellter Wert des zugrunde
liegenden Aktienindex K0 (Kassastand mal Indexmultiplikator
bzw. Geldwert des Indexportfolios)
+ sämtliche
Finanzierungskosten, d.
h. Zins- und Depotkosten für das Halten eines im Werte des
Index nachgebildeten hypothetischen Aktienportfolios, wobei der
landesübliche (sichere) Zinsfuß des Geldmarktes i ("spot rate")
zur Restlaufzeit des Futures, angegeben auf Jahresbasis (p.
a.), als Referenzzinssatz zum Ansatz kommt,
− sämtliche
Erträge E während der Laufzeit des Futures, wie vereinnahmte Dividendenzahlungen,
Bezugsrechtserlöse und anderweitige zufließende Erträge aus dem
Aktienportfolio, so etwa jene aus einer Wertpapierleihe, des Weiteren
auch Zinserträge aus der Wiederanlage dieser Erträge zum Sicherheitsreferenzzinssatz
i .
[Anmerkung: Dividendenzahlungen,
Bezugsrechtserlöse und sonstige zufließende Erträge aus Nebenrechten
sind natürlich nur dann zu subtrahieren, sofern es sich bei dem untersuchten
Aktienindex nicht um einen sog. Performance-Index ("total
return index") handelt. Ein Performanceindex ist dadurch charakterisiert,
dass er die Gesamtwertentwicklung der in ihm enthaltenen Aktien nachvollzieht.
Erträge, die aus einer Wertpapierleihe stammen, sind dagegen auch bei
einem Performance-Index in Abschlag zu bringen.]
Beim
DAX®-Futures,
der hier als Musterbeispiel für einen Aktienindex-Futures mit unterliegendem
"total return index" angeführt werden mag, fällt, sofern von
Leihgebühren aus einer Wertpapierleihe abgesehen wird, der Nettofinanzierungskostensatz
c mit dem sicheren Geldmarktzinssatz i zusammen, sodass förmlich gefasst
gilt: c=i. In Anbetracht der
impliziten Wiederanlageprämisse eines "total return index" wäre es verfehlt,
bezogene Bardividenden, eingeräumte Bezugsrechte und sonstige Erträgnisse
aus Nebenrechten (wie Boni usw.) in die Bestimmungsgleichung eines angemessenen
Terminpreises des DAX®
gesondert mit einfließen zu lassen. Ergo hängt der theoretisch richtige
Kurs eines auf einen Performance-Index aufsetzenden Futures, wie dem
DAX®-Futures, entscheidend von zweierlei Größen ab: erstens
vom Indexstand des DAX® zur Kasse und zweitens vom Höhegrad
des gegenwärtig herrschenden Zinsstandes. Daraus aber folgt, dass während
der Laufzeit des DAX®-Futures der Futureskurs bei positiven
Zinssätzen durchweg höher, bei negativen Zinssätzen durchweg tiefer
liegen wird als der DAX® selbst ("carry market")*.
[* Kosten für eine
etwaige Verwahrung von Aktienzertifikaten sind vernachlässigbar gering
und bleiben deshalb außer Betracht.]
Wesentlich anders ist
es etwa mit dem Standard
& Poor's 500 Aktienindex bestellt. Bei der modelltheoretischen
Berechnung seines Terminpreises wird dem Verzicht auf eine gedankliche
Wiederanlage der Erträge aus dem hypothetischen Aktienportefeuille in
die fraglichen Aktien des Index aus konzeptionellen Gründen ausdrücklich
Rechnung getragen. Es wird also unterstellt, dass Dividendenzahlungen
und andere in Betracht zu ziehende Vermögensausschüttungen (E) an den
Aktionär ("shareholder") vollständig zur Auszahlung gelangen,
und zwar ohne Berichtigung der dadurch möglicherweise hervorgerufenen
sprunghaften Änderung des Wertestandes des Index (unter dieser Prämisse
spricht man von einem Kursindex, oder engl. "price index",
der somit unbeschadet von Kapitalmaßnahmen ausschließlich die Kurswertänderungen
beobachtet).
Zerlegt man nun den
"cost of carry"-Satz c in seine Teilstücke und zieht zudem die Tatsache
in Rechnung, dass im Falle eines "price index" der Aktionär anfallende
Kapitalerträge aus seinem Aktienportfolio zu ziehen vollberechtigt ist,
während der Halter eines Aktienindex-Futures nichts von dem erhält,
so ergibt sich zur rechnerischen Bestimmung eines angemessenen Futureskurses
beim S&P 500 die Bestimmungsgleichung:
c=i–e (wobei e hier einen Ertragssatz,
der sowohl die Dividendenrendite ("dividend yield") als auch
sonstige Erträge aus dem Portfolio einschließt, bezeichnet). Die Nettofinanzierungskosten
c mindern sich um jene empfangenen Dividenden und andersartige Einnahmen
aus dem Aktienportfolio. Alles dies bedingt zugleich, dass der ermittelte
Futures-Preis sich i.Allg.
verhältnismäßig enger um den Indexstand herum bewegen wird als im zuvor
geschilderten Falle eines Performance-Index. Hierbei können jedoch Unschärfen
dadurch entstehen, dass eine zwischenzeitliche verzinsliche Wiederanlage
von Mittelzuflüssen in diesem formalen Ansatz nicht von sich aus Berücksichtigung
findet. Kurzum, aus Vorstehendem folgt die allgemeingültige Aussage:
Sind die Zuflüsse aus einem Aktienportfolio
höher anzuschlagen als seine Finanzierungskosten, so wird der Futureskurs
unter dem Indexstand des fraglichen Kursindex ("price index", wie der
S&P 500-Index) liegen; sind die Zuflüsse hingegen niedriger anzusetzen
als die Finanzierungskosten, so wird der Futureskurs über dem Indexstand
des Kursindex notieren.
Die Nettofinanzierungskosten
C gelten im praktischen Verständnis keineswegs von vornherein als sichere
Größe; denn nicht nur Kassa- und Futureskurse ändern sich bekanntlich
immerfort, sondern auch Zinssätze und Dividendenströme können in der
Kalenderzeitfolge mitunter erheblichen Schwankungen ausgesetzt sein.
Da aber nach vorstehendem Modell nicht nur Zinssätze, sondern auch die
einstigen Dividendenzahlungen sowohl in ihrer Höhe als auch in ihrem
zeitlichen Anfall explizit und antizipativ zum Berechnungszeitpunkt
in Ansatz zu bringen sind, so entsteht zwangsläufig das Problem, die
durch eine bestimmte künftige Periode zu erwartenden (stochastischen)
Zahlungsflüsse aus dem Portfolio auf akkurate Weise abzuschätzen ("Ausschüttungsrisiko").
Praktisch gelöst werden
finanzwirtschaftliche Aufgaben der nämlichen Art i.
d. R. in der Weise, dass vereinfachend ein auf die Länge der
Zeit stetiger (deterministischer), aus historischen Daten geschätzter
Dividendenstrom e angenommen wird. Eine solche Approximation ist für
US-amerikanische Aktienindex-Futures deshalb gangbar, weil in den USA,
wo "price indexes" den Normalfall darstellen,
Dividendenzahlungen
nicht in dem hohen Maße zeitlich gebündelt auftreten wie hierzulande.
Dividendenzahlungen der an den Börsen der Vereinigten Staaten notierten
Aktiengesellschaften verteilen sich im Gegensatz zu Deutschland vielmehr
ziemlich gleichmäßig über das Jahr. Außerdem nivellieren sich die Schwankungen
und Unterschiede in dem Grade, je breiter ein Index gefasst ist, was
die Berechnung eines angemessenen Preises, wie etwa für Futures auf
den S&P 500- oder den NYSE-Index,
trefflicher gestaltet. Hierzu nun ein Rechenexempel:
Der rechnerisch faire Wert für den Börsenkurs
des S&P 500-Aktienindex-Futures mit 6-monatiger Restlaufzeit soll ermittelt
werden. Der Index kassa steht gegenwärtig bei
1000 Index-Punkten. Die Dividendenpapiere,
die dem hypothetischen Portfolio, aus dem sich der S&P 500-Index zusammensetzt
und berechnet, zugrunde liegen, mögen eine Rendite von
2 % p.a.
abwerfen. Der risikolose Zinsfuß für Kapitalanlagen und Mittelaufnahmen
auf 6 Monate liegt augenblicklich bei
3% p.a.
Da für den S&P
500 Futures gilt: "cost of carry" c = i − e, erhalten wir für den
Parameter c füglich: c = 0,03 − 0,02 = 0,01. Diesen Wert für c in obige
Formel F0 = K0 · (1 + c)T eingesetzt
ergibt einen schulgerechten, mustergültigen Futureskurs F0
von
F0 = 1000 · (1 +
0,01)½ = 1004,987562
oder rund 1005,0 (Indexpunkten).
[Hinweis: Bei unterjähriger
Verzinsung findet häufig statt der exponentiellen Schreibweise (1 +
c)T zur linearen Approximation der Faktor (1 + c · T) Anwendung;
mit T = Restlaufzeit des Futures als Bruchzahl eines 365-Tage-Jahres,
hier in unserem Beispiel also: T = ½.]
In allgemeingültiger
Form zusammengefasst: Die Terminkurse von Aktienindizes, zumal jene
von der Art "Performance-Index", nehmen unter regelmäßigen Verhältnissen
− und nahmen in der Vergangenheit geradezu ausnahmslos − rechnerisch
positive "cost of carry" an. Bei einer damit übereinstimmenden Marktbewertung
wird sich dieser Beobachtungssachverhalt gleichzeitig in Gestalt einer
negativen Basis zu
erkennen geben. In der Terminmarktpraxis sind "full
carry"-Bedingungen hierbei vorwiegend. − Zurückzuführen sind positive
Nettofinanzierungskosten von Aktienportfolios darauf, dass die Refinanzierungskosten
für das Halten eines solchen für gewöhnlich jene Erträge übersteigen,
die deren Haltern daraus in Form von Dividenden, Bezugsrechtserlösen
usw. zuwachsen, sodass der Index-Futureskurs sich über den entsprechenden
Kassaindex stellen wird. Bleiben umgekehrt die Refinanzierungskosten
für das Aufrechterhalten des Aktienportfolios hinter den Erträgen aus
dem Portfolio zurück, so ergeben sich negative Nettofinanzierungskosten.
In Folgerichtigkeit dieses Gedankens wird der Futureskurs unter sonst
gleichen Umständen sich umso höher beziffern, je höher der untergebene
Indexstand im Kassahandel, je höher die Marktrate des risikolosen Zinsfußes
auf dem Geldmarkt und je niedriger etwaige Dividenden- und sonstige
zufließende Erträge aus dem Besitz des zugrunde liegenden Aktienportfolios
in Anrechnung zu setzen sind, et vice versa.
Augenfällig ist, dass naheliegende
denkmögliche Bestimmgründe, wie beispielsweise eine Vorausberücksichtigung
der künftigen Kursentwicklung an den Aktienmärkten (und mit diesen auch
der künftige Kassa-Indexstand des betreffenden Aktienindex) oder etwa
auch erwartete Variationen in der
Volatilität* der Märkte
seitens des Publikums, für die Berechnung eines Aktienindex-Futureskurses
zunächst völlig belanglos sind. Diese besondere Eigenschaft von "full-carry"-Futureskursen
charakterisiert zugleich den wesentlichen Unterschied bei der Bepreisung
von Futures-Kontrakten nach dem "cost of carry"-Modell gegenüber der
Preisbildung von Optionen,
die durch vollständige Gleichgewichtsmodelle beschrieben werden.
[* Infolge davon
gibt es nirgends Volatilitätsprämien, die sich in den Terminpreisen
von Futures niederschlagen könnten.]
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Aktienindex-Arbitrage mit DAX®-Futures

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