Über die Volatilität

Volatilität (abgeleitet vom italienischen volare, »fliegen«, »Flatterhaftigkeit«, »Beweglichkeit«) ist ein in der Finanzwirtschaft geläufiges Maß für das gesamte ("aggregierte") einer marktmäßig gehandelten Geldanlageform anhaftende Risiko durch Marktpreisfluktuation. Das hiermit angesprochene finanzielle Gesamtrisiko einer Kapitalverwendung erfüllt sich in der für möglich und denkbar gehaltenen künftigen Schwankungsbreite (Streuung, Variabilität) ihrer Zielgröße (Kurs, Preis, Rendite und sonstige Wertgrößen) um deren erwarteten Mittelwert, dem Schwankungszentrum. Je breiter sich die Streuung der Zielgröße um diesen Referenzwert verteilt, desto höher liegt die Volatilität, und umso risikoreicher erscheint damit die Investition als Ertragsquelle. Andrerseits gilt: Der Grad der Gewissheit, dass genau derjenige Kurs-, Preis-, Wert-, Rendite-Stand u.dgl. sich tatsächlich einspielt, auf den man mit vernünftigem Grund rechnen kann, steigert sich ist dem Maße, als sich die Streuung um den Mittelwert der Zielgröße enger stellt. Kurz gefasst: je schmaler die Streubreite und je gleichmäßiger mit ihr der Wertstand, desto sicherer und zuverlässiger wird die Kapitalinvestition.

Das Hauptaugenmerk auf dem Untersuchungsfeld der Volatilität ist ganz auf die fragliche Gangart der betrachteten Preis- oder Wertgröße gerichtet. Ein Markt wird schlechtweg als volatil bezeichnet, wenn die auf ihm hervorgebrachten Preise nicht unbeträchtlich schwingen.* Geld in stürmisch schwankende (volatile) Märkte hineinzuverwenden kommt in diesem Sinne von selbst einer gewagten, "unsicheren" Kapitalsanlage gleich. Umgekehrt gilt eine Kapitalauslage auf einem mit einem Festpreis versehenen Markt als vergleichsweise sehr sicher. Bei schärferem Zusehen umschreibt die Volatilität – im Wirtschaftsleben vorzugsweise die von kurshabenden Wertpapieren (= Kursvolatilität) – die Häufigkeit und Stärke der Preisausschläge in der Richtung aufwärts wie abwärts, oder wie der gelehrte Ausdruck sagen will: den Grad der Variationsfähigkeit der Preise. Mit ganz unterschiedlichem Befund. So ist es ein grundlegender Erfahrungssachverhalt, dass die Verteilung der Börsenpreise etwa von Aktien in bewegten, unruhigen Zeiten heftiger umschlägt als es unter gemächlicheren Verhältnissen geschieht, und weiter, dass die Preise der letzterwähnten Klasse der Geldanlage in der Gesamtbetrachtung gewöhnlich wieder schrofferen Schwankungen ausgesetzt sind als man das in einem geordneten Markt bei den Preisen der festverzinslichen Wertpapiere ("Bonds") zu beobachten vermag. Gleichviel nun, welche Art Wertpapier in Frage steht: Der Natur der Sache nach wird die Volatilität bei plötzlich auftretenden Preiserschütterungen anwachsen; sie wird wieder abflauen bei Eintritt einer Beruhigung und Verflachung der Marktlage.

[* Der Markt befindet sich damit gewissermaßen im Zustand einer nervösen Spannung, die sich vermehrt in unruhigen, hastigen Auf- und Abbewegungen des Preises äußert. So nämlich, wenn die Preiskurve auf kürzere Frist im Zickzack irrlichteliert, große Sprünge vollzieht ("gaps") oder gar außer Rand und Band geht.]

In den allgemeinsten Umrissen, und freilich auch im vagsten Verstand, lässt sich über das "Risiko" aussagen, dass es mit seinem Erscheinen den Erfolg, auf den wir es abgesehen haben, zweifelhaft macht. Insofern ist unter dem Walten des Risikoeinschlags die Aussicht auf Erlangung eines wirtschaftlichen Vorteils unausbleiblich der Unsicherheit preisgegeben. Ob ein solcher sich überhaupt einstellt und falls so, zu welchem Zeitpunkt und in welcher Größenordnung, das lässt sich nicht mit Bestimmtheit voraussehen. Mitunter liegt sogar die Gefahr einschneidender Vermögensverluste ganz nah. Von diesem Gesichtspunkt aus wird leicht einzusehen sein, dass das in der Volatilität gelegene Begriffsverständnis von Risiko* nicht allein negative (unliebsame, unerwünschte), sondern gleichfalls positive (erhoffte und erwünschte) Abweichungen von der erwarteten Zielgröße rundweg mit umfasst. Eine erhöhte Volatilität geht demnach einher mit einer nicht zu unterschätzenden Wertgefahr, gleichzeitig aber auch mit einer entsprechend guten Gewinnaussicht; und umgekehrt. Über die Richtung selbst sagt sie indessen nichts aus.

[* Aus diesem Gesichtspunkt steht in dieser Abhandlung die Gegebenheit des Risikos einzig im entscheidungstheoretischen Sinne in Verwendung, nämlich als Ausdruck für eine musterhafte Erscheinungsform von Unsicherheit.]

Gelegentlich findet sich im finanzwirtschaftlichen Schrifttum noch ein zweites, verengertes Begriffsverständnis von Risiko durch Kapitalüberlassung: Danach steht der Begriff von Risiko entweder in der Bedeutung, die ursprünglich ins Auge gefasste Mindestverzinsung zu verfehlen oder er wird schlicht und einfach mit Verlustgefahr gleichgesetzt ("downside-risk", "pure risk"). Die Möglichkeit der Verwirklichung eines den Erwartungswert (Durchschnittswert) übertreffenden Wertes fällt dahingegen eigens unter den Begriff der "Chance" (von lat. "cadentia", »Fall der Würfel«). Richtet sich das Augenmerk hinwiederum weniger auf das gesamte, d.i. das im Rahmen der Portfolioauswahl "aggregierte" Risiko einer Investition für sich allein genommen, als hauptsächlich und namentlich auf das marktbezogene Risiko als besonderem Teil des einem Investitionsvorhaben eigenen Gesamtrisikos, so vermag der sogenannte Beta-Faktor den allgemeinen Vorzug vor dem Volatilitätsmaß zu behaupten. Dies liegt vor allem darin, dass der Beta-Faktor sich nicht nur in der Wissenschaft, sondern auch in der Finanzpraxis für diesen Zweck einmal über das andere als die entschieden tauglichere Maßgröße erwiesen hat. – Zu den noch mehr zeitgemäß fortgebildeten Risikomaßen gehören Maße, wie "sharpe-ratio" oder "value at risk" (VaR) es sind.

Die Volatilität an sich besitzt keinen Eigenwert. Sie ist weder eine Nutzen oder Schaden bringende noch auch eine bedeutungslose oder gar gleichgültige Erscheinung des Wirtschaftslebens. Zwar steigert sie durch ihr bloßes Dasein weder das Maß der äußeren Wohlfahrt noch tut sie ihr irgendeinen Eintrag. Gleichwohl ist die Volatilität als Markttatbestand wahrhaft feststellbar. Um ihr in der Anwendung einen Wirtschaftsnutzen abzulocken, ist sie als Erstes notwendig an ihren Zielen und Aufgaben zu bemessen und zu beurteilen. So wird sie allemal dann von nutzbringendem Einfluss sein, wenn Nachrichten über Zeitereignisse von allumfassender Wichtigkeit für den Markt sich mit ihrem Eintreffen getreu und unverzüglich in den Preisen niederschlagen (fundamentale Volatilität). Sie wird jedoch verderblich sein, wenn sie durch entsprechende Tatsacheninhalte in Nichts gestützt und also ganz ohne innere Berechtigung ist ("oszillierende" oder regellose Preisschwankungen; "transitorische Volatilität", "noise").* Letzten Endes kann es darum umso weniger des Amtes einer Obrigkeit sein, die Volatilität entschieden an ihrer Entfaltung zu hindern.

[* Es scheint dies weniger die Ausnahme als die Regel zu sein. Empirische Studien weisen verstärkt darauf hin, dass ein guter Teil der Volatilität nicht durch einen bestimmten von außen kommenden Anstoß herbeigeführt wird, sondern die treibende Kraft in sich selbst trägt. Sonach bringt der Handelsverkehr die Volatilität zu einem nicht geringen Teil selbst hervor, da er für den eigenen Ansporn ein stetes Auf- und Niedertanzen (Oszillieren) der Preise erfordert, der ihm dauernden Schwung gibt.]

Das Risiko einer kurshabenden Geldanlage lässt sich sowohl nach quantitativen wie nach qualitativen Maßstäben messen. Die quantitative Erfassung* des Risikos nimmt ihren Ausgang anstatt von absoluten Preis- oder Kursgrößen fast immer von Preis- bzw. Kursrelationen. Sie greift vornehmlich auf die Verhältniszahl Rendite (Gewinn- oder Profitrate, Kapitalrentabilität, Kapitalrente, interner Zinsfuß, "rate of return") als die maßgebende Zielgröße des Kalküls zurück. Die Rendite stellt diejenige Ertragskennzahl dar, die in Wirtschaftstheorie und kaufmännischer Praxis die weiteste Verbreitung als Beurteilungsmaßstab für die Vorteilhaftigkeit (Performance) finanzwirtschaftlicher Verfügungen gefunden hat. Die erzielte Rendite (vor Steuern) einer untersuchten Investitionshandlung bemisst sich nach dem finanziellen Ergebnis (Vermögenszuwachs/-minderung), welches die während einer betrachteten Abrechnungsperiode anfänglich eingesetzten und darin gebundenen eigenen und/oder fremden Gelder hervorgebracht haben, indem es zur Größe der Letzten ins Verhältnis gesetzt wird. So sagt eine Rendite beispielsweise von 10 Prozent ("10%" oder "0,1") aus, dass eine einschlägig veranlagte Geldeinheit von Anbeginn der Geldanlage an bis zum Periodenende den zehnten Teil (10 v.H.) über ihren ursprünglichen Wert hinaus verdient, und sich damit auf 1,1 Geldeinheiten vermehrt hat (= Kapitalzuwachs).**

[* Die qualitative (nicht rechenbare) Risikobeurteilung dagegen stellt ganz auf die Bonität, d. i. den Gütegrad des Schuldners ab und umfasst damit vorzugsweise die durch Ratingagenturen vorgenommene Einstufung in verschieden ausgelegte Rating-Kategorien (Güteklassen).]

[** Der methodische Vorzug relativer Veränderungsraten von Kursen (= Renditen) besteht außer in der dadurch möglich werdenden einfachen Vergleichung von Rechenergebnissen – zumal bei unterschiedlich hohen Investitionssummen – insonderheit darin, dass ihr Gebrauch ein konsistentes Arbeiten mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Zufallsgesetzmäßigkeiten erlaubt und diese hierbei zu gefälligen mathematischen Lösungen führen. Dieser Befund gilt nicht zum wenigsten von logarithmierten Renditegrößen.]

Auf jedem x-beliebigen Geschäftsfeld weist man unter vernünftiger Wirtschaftsführung die frei verfügbaren Finanzmittel der Reihe nach in die sichersten oder ergiebigsten Verwendungsgelegenheiten ein. Eine offenstehende, zu beurteilende Investition bringt für sich allein genommen immer dann einen wirtschaftlichen Vorteil heim, wenn ihre Rendite den zu ihrer Finanzierung angeschlagenen Zinsfuß zu übersteigen vermag (positiver Kapitalwert). Im Falle der Eigenkapitalfinanzierung wird sich die dafür maßgebende Zinsrate an der nächstbesten, innerhalb der jeweiligen Risikoklasse sonst möglichen (entgangenen) Rendite ausrichten, die um ihretwillen nicht mehr verwirklicht werden kann (Opportunitätskostenprinzip). Alle übrigen Investitionen, deren Renditen hinter dem in Ansatz gebrachten Zinsfuß zurückbleiben, gelten für unrentabel. Retrospektiv, also rückblickend lässt sich die Rendite der Haltezeit (gleich Ex-post-Rendite, historische Rendite) stets mit voller Treue ausmessen und entsprechend würdigen; für eine sachgerechte Anlageplanung und Entscheidungsfindung ist im Finanzleben jedoch die prospektive, d.i. die zukunftsbezogene Rendite (die ausblickende, voraussichtliche Rendite, also die sog. erwartete Rendite = Ex-ante-Rendite, ausgedrückt gemeinhin durch den mathematischen "Erwartungswert" der Rendite) maßgebend.

Der methodische Ansatz zur Wertung und Einschätzung der historischen (empirischen) Volatilität einer Kapitalanlage ("historical volatility", "realized volatility", "historical realized volatitlity") ist auf der Berechnung der statistischen Standardabweichung (σ; gr.: kl. Sigma) gegründet. Als Urmaterial dienen ihr landläufig Zeitreihen von vergangenen, erfolgten Investitionsrenditen im untersuchten Markt durch einen bestimmten Beobachtungszeitraum hindurch. Die Standardabweichung σ ihrerseits, die man in der Statistik gemeinhin als zentrales "Moment 2. Ordnung", allgemein auch als "Streuung", "Dispersion", "mittlere quadratische Abweichung" oder "mittlerer Fehler" kennt, stellt sich bekanntlich durch die positiv genommene Wurzel der Varianz σ² heraus. Die Standardabweichung σ misst hiernach die durchschnittliche Abweichung der einzelnen während eines bestimmten Untersuchungszeitraums beobachteten (Tages-, Wochen-, Monats-, Jahres- usw.) Investitionsrenditen von ihrem Mittelwert (μ; gr.: kl. My).

Der für die Beurteilung der auf die Vergangenheit gerichteten Wertbewegung genutzte Leitgedanke ("performance evaluation") lässt sich vorwärtsschauend auf erwartete (zukunftsbezogene und damit unsichere, zufällige) Werte übertragen, sofern man unterstellt, dass dagewesene, zeitlich zurückliegende Renditeausprägungen bestimmend ("indikativ") für zukünftige Renditeausprägungen sind. Die Standardabweichung vom Erwartungswert der Rendite steht nach diesem Vorgang sodann stellvertretend als Maß für das Risiko der als bekannt vorausgesetzten gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen einer Investition.* Wie die alltägliche Anschauung lehrt, erhöhen sich die Renditeerwartungen in dem Grade, als das mutmaßliche Risiko steigt; und umgekehrt ("risk/return tradeoff"). Die in der Standardabweichung gemessene Volatilität eines Kapitalpostens liefert mithin einen zweckdienlichen Anhaltspunkt bei der Erwägung, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein erstrebtes Kursziel erreichen lässt.

[* Methodologisch zu prüfen wäre, ob es überhaupt am Platze ist, die Unsicherheit in der Vorausbestimmung von Börsenkursen auf Standardabweichung und Erwartungswert einer statistischen Verteilung zu verdichten.]

Gesetzt den Fall, die Renditeverteilung einer Investition ist an statistische Regelmäßigkeiten gebunden, wie etwa durch die Gaußsche Normalverteilung unmittelbar zum Ausdruck gebracht, so lässt sich das Risiko vollständig beschreiben. Bleibt sie der letztgenannten treu, so gilt demgemäß: Im Bereich [μ – 1σ | μ + 1σ] liegen 68,268 % der Renditen, im Bereich [μ – 2σ | μ + 2σ] liegen 95,45 % und im Bereich [μ – 3σ | μ + 3σ] befinden sich 99,73 % aller Renditen.

[Anmerkung: Statistische Verteilungen beschreiben Zufallsgesetzmäßigkeiten. Im Falle der Gaußschen Normalverteilung lehrt allein der Augenschein, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Rendite zwischen +/– einer Standardabweichung vom Erwartungswert liegt, etwa 2/3 beträgt und infolge davon etwa je 1/6 dafür, dass sie unterhalb bzw. oberhalb dieses Intervalls liegt. Darüber hinaus liegen im Bereich +/– zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert etwa 19/20 und im Bereich +/– drei Standardabweichungen vom Erwartungswert etwa 369/370 aller Renditevorkommnisse. Diese Aussage hat jedoch ihrer asymmetrischen Gestalt halber keine Geltung für logarithmierte Normalverteilungen.]

Beispiel zur Berechnung der Renditen und der historischen Volatilität einer Aktie aus den festgestellten Schlusskursen:

Es sei die historische Volatilität der ABCD-Aktie auszurechnen. Hierzu stellen wir musterhaft die Veränderungsreihe der im vorangehenden Jahr (mit Einschluss des vorvorjährigen Dezembers) an der Börse festgestellten Monatsschlusskurse auf:*

[* Anmerkung: Ebenso gut könnten Tageskurse, Wochenkurse, Vierteljahrskurse oder auch die Kurse für jede frei gegebene Spanne Zeit der Aufstellung zugrunde gelegt werden, so z.B. 250 Geschäftstage oder 52 Wochen. Auch in diesem Fall werden für gewöhnlich die Schlusskurse herangezogenen.]

a.) Berechnung der Monatsrenditen der ABCD-Aktie: 1.Schritt:

Es sei angenommen, nach Erhebung aller Daten liege für die ABCD-Aktie eine Kurssequenz von Monatsschlusskursen gemäß der vorausgeschickten Tabelle als gegeben vor. Im ersten Schritt sollen nun die Renditen der Aktie für die einzelnen Monate (in unserem Beispielsfall also die der Monate Januar bis Dezember des Jahres) berechnet werden. Dazu wird der Schlusskurs des jeweiligen Zeitabschnitts durch den Schlusskurs des vorgängigen Zeitabschnitts dividiert (vgl. in der nachstehenden Tabelle die mittlere Zeile "1 + Rendite"; engl. "value relative"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten wir im Endergebnis folgende 12 Monatsrenditen (in Prozenten), wie in der letzten Zeile der nachstehenden Tabelle aufgezeigt:

2.Schritt:

Um bei der Ausmittlung der Volatilität nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen, wird im Schrifttum gefordert, dass dem Kapitalanleger eine sog. "quadratische Bernoulli-Nutzenfunktion" zuzuführen sei und/oder dass die Renditen des Investitionsgegenstandes statistisch normalverteilt seien. Da logarithmierte (stetige) Aktienrenditen im Gegensatz zu einfachen (diskreten) Renditen ungeschwächt und uneingeschränkt für normalverteilt* gelten, werden in diesem Schritt die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der vorangehenden Aufstellung mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert. Als Ergebnis (wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir eine Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Arbeitstabelle zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen).

[* Die Annahme einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet die empirische Restriktion, dass der Anteilhaber niemals mehr Geld verlieren kann als die Geldsumme ausmacht, die er auf den Kauf seiner Aktien ausgelegt hat. Als eine für den Finanzpraktiker wie den Theoretiker gleichermaßen sich günstig erweisende Eigenschaft logarithmierter Renditen tritt hinzu, dass sie nicht nur den wirklichen Verhältnissen auf den Sekundärmärkten recht nahe kommen, sondern dass unter ihrer Beihilfe, zumal bei Grenzwertuntersuchungen sowie in der Optionspreistheorie, sich damit in methodisch schlüssiger, folgerichtiger Weise rechnen lässt. – Randbemerkung: Eine Zufallsvariable (z.B. die erwartete Rendite) heißt logarithmisch normalverteilt, wenn der natürliche Logarithmus der Variablen normalverteilt ist.]

[** Der natürliche Logarithmus hat die Konstante e = 2,71828... zur Basis, dem zugestrebten Grenzwert der Folge (1+1/n) ⁿ, mit n → ∞.]

3. Schritt:

Nachfolgend wird der arithmetische Durchschnitt (Mittelwert) μ der vorliegenden 12 logarithmierten Monatsrenditen ausgerechnet. Das arithmetische Mittel einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen r einer Investition ergibt sich allgemein nach der Formel:

μ = (1/n) · Σ r_t   ,

mit

n : Anzahl der der Rechnung zugrunde liegenden Renditen,

r_t : Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) , und

Σ : Summensymbol (gr. Sigma, nach dem achtzehnten Buchstaben des griechischen Alphabets).

Die abgewandelte Formel zur Errechnung des logarithmierten Mittelwerts (μ_ln) lautet demzufolge:

μ_ln = (1/n) · [Σ ln(1 + r_t)]   .

Die Division der Summe der logarithmierten Monatsrenditen (gerundet, in Prozenten) durch 12 liefert in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μ_ln:

μ_ln = (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08 + 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135.

Ergebnis: Die durchschnittliche logarithmische Monatsrendite der ABCD-Aktie beläuft sich auf 1,135 %.

b.) Berechnung der Varianz σ² und der Standardabweichung σ der logarithmierten Renditen: 1. Schritt:

Um quantitative Aussagen über das (für sich allein betrachtete) Risiko der ABCD-Aktie treffen zu können, ist als Nächstes ihre Varianz zu berechnen. Die Varianz σ² ist definiert als die Summe aus den ins Quadrat erhobenen Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die Zahl der Einzelausprägungen. Zur Ausmittlung der Varianz einer Grundgesamtheit von Werten bedient man sich also allgemein der folgenden Formel:

σ² = (1/n) · [Σ (r_t – μ)²]   ,

wobei unter der Summe die Einzelausprägungen der Grundgesamtheit laufen.

Wird aus einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit gesucht ("sample variance"), so führt die Statistik uns vor, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern der Nenner, hier: n, um 1 zu vermindern ist, um eine weitgehend erwartungstreue ("unbiased") Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier an dem Beispiel der ABCD-Aktie vorgeführt – nur eine mäßige Zahl von Beobachtungswerten vorliegt. Wir erhalten demgemäß:

σ² = [1/(n – 1)] · [Σ (r_t – μ)²]   .

Die Varianz wird hierbei bestimmt durch Anwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μ_ln = 1,135, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen in Abzug gebracht und daraufhin quadriert und aufsummiert wird. Anschließend wird noch, wie erfordert, durch (n–1) geteilt. Unsere so abgeänderte Formel lautet demnach:

σ² = [1/(n – 1)] · [Σ (ln (1 + r_t) – μ_ln)²]   .

Die Beispielswerte eingesetzt ergibt die folgende Varianz:

σ² = [(7,70 – 1,135)² + (4,88 – 1,135)² + (–1,51 – 1,135)² + (4,21  – 1,135)² + (1,19 – 1,135)² + (–6,94 – 1,135)² + (–4,08 – 1,135)² + (3,44 – 1,135)² + (–3,25 – 1,135)² + (–3,67 – 1,135)² + (4,88 – 1,135)² + (6,77 – 1,135)²] / 11 = 259,39/11 = 23,58.

2. Schritt:

Da die gesuchte historische Volatilität eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird, ist darauf folgend zu ihrer Kalkulation die positive Quadratwurzel aus der oben berechneten Varianz σ² zu ziehen:

σ = [(1/(n – 1)) · [Σ (ln (1 + r_t) – μ)²]]^½   , bzw.

σ = √23,58 = 4,856 %.

Die Standardabweichung (σ) der Monatsrenditen beträgt demnach gleich 4,856 %. Man beachte, dass die Standardabweichung σ im Gegensatz zur Varianz σ² inhaltlich vollkommen kommensurabel ist mit ihren Ursprungswerten. Sie hat insbesondere die gleiche Dimension wie die zu ihrer Aufsuchung verwendeten Zahlengrößen, d.i. in unserem Rechenbeispiel also die Dimension Prozent (%).

Hinweis: Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen einer Aktie kann wahlweise zu Schritt 1 und 2 auch nach dem Ausdruck

σ = [∑r_ln² / (n–1) – [(∑r_ln)² / n · (n–1)]]^1/2  erfolgen, wobei r_ln die logarithmierten Renditen der Aktie bezeichnet.

3. Schritt:

Aus dem Wunsch, die aus mehreren verschiedenen Vermögensanlagen erwirtschafteten Einzelrenditen, welche bezogen auf ihre Dauer jede für sich überwiegend auseinandergehen werden, so gut wie irgend möglich vergleichbar zu machen, bedient man sich im kaufmännischen Verkehr aus Gründen der Zweckmäßigkeit der Annualisierung der Gewinnraten. So ist es beispielsweise bei den Kreditgeschäften Sitte, nach Prozenten für die Zeitdauer eines Jahres (per annum) zu rechnen, ein Rechnungsverfahren, das bei uns auch unter der Benennung "effektiver Jahreszins" ("annual rate of return") bekannt ist. Ein Ähnliches greift durch bei der Vergleichung von statistischen Standardabweichungen. Hierbei ergibt die auf ein Jahr gewendete ("hochgerechnete") Standardabweichung (= Jahresvolatilität) in ihrer Ausdrucksform das gesuchte Risikomaß, das unter der Bezeichnung Volatilität einer Investitionshandlung endlich Eingang in die Finanzierungslehre gefunden hat.

Das für die Berechnung der historischen Volatilität der in Untersuchung gezogenen Geldveranlagung nötige Zahlenmaterial ist wieder aus den vorangegangenen Tagen hergeholt, nämlich von einer planmäßigen Beobachtung des Preises oder Kurses durch eine gewisse Spanne Zeit hindurch. Der im Vorausgehenden angestellte Rechnungsvorgang beispielsweise fußt auf einer monatlichen Kursfeststellung der Aktie. Ebenso wohl ist es angängig, davon abweichende fertig gegebene Zeitspannen als Bezugsgrößen heranzuziehen. Weil an den Handelsplätzen die weitaus meisten Finanztitel heutzutage börsentäglich umgesetzt werden, macht die Volatilitätsberechnung aus naheliegenden Gründen in aller Regel Gebrauch von täglichen, von Schlusskursen stammenden Kursveränderungen, die sie als Urgrößen in ihre Rechnung übernimmt. Gleichviel indes, ob der Rechnung ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsschlusskurse und entsprechende Renditen zugrunde liegen, lassen sich diese mit Leichtigkeit zu der beabsichtigten Jahresvolatilität umgestalten (skalieren). Dafür wird schlicht und einfach die vorliegende Standardabweichung σ malgenommen mit der Quadratwurzel aus der Zahl des sich in einem Jahr wiederholenden Referenzzeitraums.

Der Ausdruck für die annualisierte Standardabweichung (= Volatilität) lässt sich somit auf eine handliche Kurzformel bringen:

σ_ann = σ · √n   .

[Anmerkung: Die Volatilität verhält sich proportional zur Quadratwurzel aus der Zeit. Die Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert also, dass das Risiko einer Investition mit sich entfernendem Anlagehorizont nicht linear (degressiv) zunimmt.]

Ist die Standardabweichung, wie hier im Fallbeispiel, die Ergebnisgröße monatlicher Renditen, so hat demgemäß die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung σ_m mit der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h. σ_m x √12 = gesuchte historische Volatilität σ_ann der ABCD-Aktie. Die oben gegebenen Werte eingesetzt ergibt:

σ_ann = σ_m · √12 = 4,856% · 3,4641 = 16,8217% = Volatilität der ABCD-Aktie.

   (Gerundet bis auf 4 Stellen hinter dem Komma.)

Die historisch statistische Volatilität lässt sich in vortrefflicher Weise als Vergleichsmaßstab für die Schwankungsbreite kurshabender Vermögenswerte gebrauchen. So schlägt die Volatilität der untersuchten ABCD-Aktie im Zusammenhalt mit manch anderen Aktien recht klein an. Aktien als Anlageklasse ("asset class") genommen haben für gewöhnlich Jahresvolatilitäten, die im langfristigen Durchschnitt ungefähr zwischen 15 und 60% gelegen sind. Sogenannte Blue Chips, also Börsenpapiere ersten Ranges, wie alle die Werte, die z.B. im DAX^® oder im Dow Jones (DJIA) enthalten sind, weisen je nach Aktiengattung Volatilitäten zwischen, roh gerechnet, 20 und 40% vor. Die hier betrachtete ABCD-Aktie gehört ihrer mäßigen Volatilität wegen unter die Klasse der "Defensive Issue" (Anlagepapiere). Börsenpapiere der vorgenannten Sorte zeigen sich überwiegend unbeirrt vom Wechsel der Konjunktur und sind meist entweder den altbegründeten, krisenfesten Unternehmungen aus dem Bereich der Konsumgüterhersteller* für den täglichen und gehobeneren Bedarf ("consumer staples", "consumer discretionaries") zuzurechnen oder reihen sich ebensolchen gefestigten Gesellschaften aus dem Zweige der Versorgungsunternehmungen ("utilities") ein.

[* Zu den weithin bekannten Aktiengesellschaften dieses Zweiges zählen, neben manchen anderen, z.B. Unternehmungen wie Procter & Gamble und Johnson & Johnson.]

Abschließende Anmerkungen: Weil der Handelsverkehr an Wochenenden sowie an Feiertagen gemeinhin ruht, aber auch wegen sonstiger Brüche in den Zeitreihen wird angenommen, dass ein Kalenderjahr lediglich etwa 250 Börsenhandelstage umfasst. Überdies deuten empirische Befunde darauf hin, dass eher Börsenhandelstage denn Kalendertage für eine zutreffende Bestimmung der Volatilität einer Aktie maßgeblich seien. In richtig bemessener Weise multipliziert man zur Annualisierung der Standardabweichung im Falle vorliegender Tagesrenditen daher mit der Wurzel aus 250 statt aus 365, d.h. σ_ann = σ_t · √250.*

[* Möchte man nun umgekehrt aus der vorliegenden Jahresvolatilität σ_ann die zugehörige Tagesvolatiltät errechnen, wäre dementsprechend die Jahresvolatilität mit der Quadratwurzel aus 1/250 malzunehmen, also σ_t = σ_ann · √1/250. Die Tagesvolatilität der ABCD-Aktie beträgt demnach rund 16,8217%/16 = 1,0514% – Weitere Anmerkung: Da sich durch die Ausbreitung des elektronischen Handels die Börsenhandelszeiten verlängert haben, spräche auch nichts dagegen, aus Zweckmäßigkeitsgründen zur Vereinfachung der Rechnung genau 256 Handelstage zugrunde zu legen. Demnach ergibt sich die gesuchte Tagesvolatilität, indem die Jahresvolatilität schlicht durch 16 geteilt wird.]

Um der Steigerung des Aussagegehaltes bei der Ausmittlung der Aktienkursvolatilität willen ist es für den Fall von Tagesrenditen empfehlenswert, den Rechnungsgrößen ungefähr die letzten 90 bis 180 Handelstage zugrunde zu legen, bei Monatsrenditen dagegen sollten es mindestens 36 Monatsrenditen sein. Zwar steigt die Genauigkeit und Zuverlässigkeit einer Schätzung der Volatilität grundsätzlich mit zunehmender Zahl der in die Berechnung einfließenden Renditegrößen; da indessen der Belauf der Volatilität auf die Länge der Zeit erfahrungsgemäß Veränderungen* erfährt, und älteren Renditen oftmals wenig oder gar keine Aussagekraft für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen beschieden ist, kann die Berücksichtigung von mehr als ungefähr 180 Einzelrenditen mitunter sogar abträglich sein.

[* Eine brauchbare Nutzung der historischen Volatilität ("realized volatility") zur Schätzung der zukünftig sich verwirklichenden Volatilität ("future realized volatility") impliziert, dass die historische Volatilität auch in den darauf folgenden Zeitstufen unverändert bleibt, was offenkundig der feststehenden Erfahrung zuwiderläuft. Neuestens unternehmen sog. (G)ARCH-Modelle sowie deren Erweiterungen (Exponential GARCH, Integrated GARCH usw.) den Versuch, die in Wahrheit auftretenden Veränderungen der Volatilitäten im Zeitverlauf mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln rechnerisch in den Griff zu bekommen. GARCH steht hierbei als Abkürzung für engl. "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".]

Wenngleich sich auch solche Renditeausprägungen, die einkalkulierte Dividenden- und Bezugsrechtserlöse umfassen, auf einfache Weise mit in die Bestimmformel der Volatilität für eine Aktie einstellen ließen, bleiben Renditen dieser Färbung in der wahrhaftigen Rechnung zumeist außer Ansatz. Eine solche methodische Vorgangsweise ist neben anderem zurückzuführen auf den Umstand einer von Fall zu Fall ungleichen steuerrechtlichen Handhabung von Ausschüttungserträgen aus dem Aktienvermögen in den Empfängerkreis der Anteilseigner.

Für noch andere oft gebrauchte Zeitintervalle gilt entsprechend:

σ_ann = σ_w · √52 für Wochenrenditen, und σ_ann = σ_q · √4 für Quartalsrenditen.

Zu einer genauer bestimmten Ausmittlung der Volatilität wird eine Spanne Zeit von gewisser Länge herangezogen, die sich für den vorgesehenen Zweck am meisten empfiehlt. Im obigen Beispiel etwa wurde die Volatilität aus den Monatsrenditen durch ein ganzes Jahr hindurch berechnet (12-Monate-Volatilität). Der Ermittlung der Volatilität können indes grundsätzlich beliebige Zeiträume zugrunde gelegt werden. Es können dafür Tages-, Wochen-, Monats-, Vierteljahres-, Jahresrenditen oder ganz andere Zeitspannen gleichermaßen zur Anwendung kommen, die sich keineswegs mit der Länge des Kalenderjahres decken müssen. Liegen der Rechnung beispielshalber Tagesrenditen für die Schlusskurse der letzten 30 Handelstage zugrunde, die auf das Jahr hochgerechnet wurden, so spricht man von einer 30-Tage-Volatilität (p.a). Bei einer Volatilität dieses Namens wie auch im Falle der 250-Tage-Volatilität (p.a.) – beide sind in der Wirtschaftspresse besonders häufig anzutreffen – bedarf es einer Annualisierung nicht mehr, da sie der gesuchten Kennzahl "historische Volatilität, σ_ann" bereits entsprechen.

Um bei der vergleichenden Gegenüberstellung von Aktien, die sich sowohl rücksichtlich ihres Risikos als auch ihrer Renditeerwartungen unterschiedlich zeigen, Aussagen mit Anspruch auf erhöhte Treffsicherheit zu machen, greift man neben anderen häufig auf ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sogenannten Variationskoeffizienten v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ, d.h. v = σ/μ. Es beziffert damit das übernommene Risiko für die Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie hat demnach einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856/1,135 = 4,278.*

[* Nicht verkannt werden darf, dass v, hierin ungleich seiner Bestimmungsgrößen, als dimensionslos anzusehen ist.]

Der sachliche Nachteil indes, der dem Variationskoeffizienten v aus sich heraus anklebt, ist aus seiner hochgradigen Empfindlichkeit (Reagibilität) zu erklären, die besonders dann spürbar wird, wenn er sich auf verwirklichte Tages-Renditen oder doch auf die Verwirklichung nur von sehr kleinen Renditeausprägungen stützt. Das macht ihn letztendlich für eine nicht eben geringe Anzahl praktischer Zwecke bloß in recht eng begrenztem Maße tauglich.

Nächst dem Ansatz der historischen Volatilität steht ein zweiter Ansatz aufrecht, welcher der zukünftig sich verwirklichenden Volatilität gerecht zu werden sucht: die sogenannte implizite Volatilität ("implied volatility", "implicit volatility"). Diese erlangt Bedeutung im Zusammenhang mit Optionsgeschäften und lässt sich schicklich auf der Grundlage eines Optionspreismodells, wie es etwa unter der Bezeichnung "Black-Scholes-Merton-Modell" in Fachkreisen bekannt ist, mit logischer Bestimmtheit erschließen, wenn aus inneren Gründen (implizit) davon auszugehen ist, dass die infrage stehende Option am Markt gegenwärtig eine sachgerechte und angemessene ("faire") Bewertung erfährt. In diesem Fall gibt sie die allgemeine Marktbeurteilung der voraussichtlich durch die Laufzeit der Option hindurch bestehenden und als gleichbleibend angenommenen Volatilität des Optionsgegenstandes ("underlying") wieder. Man erhält die gegenwärtige Kennzahl der impliziten Volatilität (kurz: IV) aus dem im Handelsverkehr zu gleicher Zeit hervorgebrachten und als angemessen betrachteten Optionspreis für das untersuchte Finanzinstrument, indem dieser nebst den anderen bekannten Größen* – falls vorhanden – als Preisziffer Eingang in die Optionspreisformel finden. Die gesuchte implizite Volatilität ist hierbei eindeutig beschrieben als jene Volatilität σ, bei der sich mathematisch bestimmt der theoretische Optionspreis aus der Formel dem tatsächlichen Marktpreis der untersuchten Option (Optionsprämie) gleichstellt. Die implizite Volatilität leistet in der Anwendung gute Dienste als Risikomaß, indem sie einen Schätzwert abgibt über die zu erwartende Schwankungsstärke des bezüglichen Marktpreises für die Dauer der Optionsfrist.

[* Diese Größen ("Parameter") umfassen 1.) den vorliegenden Preis des Basisgegenstandes, 2.) den Ausübungspreis, 3.) die Restlaufzeit, 4.) den Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Laufzeit, sowie gegebenenfalls 5.) die während der Laufdauer aus dem Basiswert verdienten Erträgnisse (z.B. Dividenden).]

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