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Es sei die historische Volatilität der ABCD-Aktie auszurechnen. Hierzu stellen wir musterhaft die Veränderungsreihe der im vorangehenden Jahr (mit Einschluss des vorvorjährigen Dezembers) an der Börse festgestellten Monatsschlusskurse auf:*
[* Anmerkung: Ebenso gut könnten Tageskurse, Wochenkurse, Vierteljahrskurse oder auch die Kurse für jede frei gegebene Spanne Zeit der Aufstellung zugrunde gelegt werden, so z.B. 250 Geschäftstage oder 52 Wochen. Auch in diesem Fall werden für gewöhnlich die Schlusskurse herangezogenen.]
a.) Berechnung der Monatsrenditen der ABCD-Aktie: 1.Schritt: Es sei angenommen, nach Erhebung aller Daten liege für die ABCD-Aktie eine Kurssequenz von Monatsschlusskursen gemäß der vorausgeschickten Tabelle als gegeben vor. Im ersten Schritt sollen nun die Renditen der Aktie für die einzelnen Monate (in unserem Beispielsfall also die der Monate Januar bis Dezember des Jahres) berechnet werden. Dazu wird der Schlusskurs des jeweiligen Zeitabschnitts durch den Schlusskurs des vorgängigen Zeitabschnitts dividiert (vgl. in der nachstehenden Tabelle die mittlere Zeile "1 + Rendite"; engl. "value relative"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten wir im Endergebnis folgende 12 Monatsrenditen (in Prozenten), wie in der letzten Zeile der nachstehenden Tabelle aufgezeigt:
2.Schritt: Um bei der Ausmittlung der Volatilität nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen, wird im Schrifttum gefordert, dass dem Kapitalanleger eine sog. "quadratische Bernoulli-Nutzenfunktion" zuzuführen sei und/oder dass die Renditen des Investitionsgegenstandes statistisch normalverteilt seien. Da logarithmierte (stetige) Aktienrenditen im Gegensatz zu einfachen (diskreten) Renditen ungeschwächt und uneingeschränkt für normalverteilt* gelten, werden in diesem Schritt die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der vorangehenden Aufstellung mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert. Als Ergebnis (wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir eine Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Arbeitstabelle zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen).
[* Die Annahme einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet die empirische Restriktion, dass der Anteilhaber niemals mehr Geld verlieren kann als die Geldsumme ausmacht, die er auf den Kauf seiner Aktien ausgelegt hat. Als eine für den Finanzpraktiker wie den Theoretiker gleichermaßen sich günstig erweisende Eigenschaft logarithmierter Renditen tritt hinzu, dass sie nicht nur den wirklichen Verhältnissen auf den Sekundärmärkten recht nahe kommen, sondern dass unter ihrer Beihilfe, zumal bei Grenzwertuntersuchungen sowie in der Optionspreistheorie, sich damit in methodisch schlüssiger, folgerichtiger Weise rechnen lässt. – Randbemerkung: Eine Zufallsvariable (z.B. die erwartete Rendite) heißt logarithmisch normalverteilt, wenn der natürliche Logarithmus der Variablen normalverteilt ist.] [** Der natürliche Logarithmus hat die Konstante e = 2,71828... zur Basis, dem zugestrebten Grenzwert der Folge (1+1/n) n, mit n → ∞.]
3. Schritt: Nachfolgend wird der arithmetische Durchschnitt (Mittelwert) μ der vorliegenden 12 logarithmierten Monatsrenditen ausgerechnet. Das arithmetische Mittel einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen r einer Investition ergibt sich allgemein nach der Formel: μ = (1/n) · Σ rt , mit n : Anzahl der der Rechnung zugrunde liegenden Renditen, rt : Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) , und Σ : Summensymbol (gr. Sigma, nach dem achtzehnten Buchstaben des griechischen Alphabets). Die abgewandelte Formel zur Errechnung des logarithmierten Mittelwerts (μln) lautet demzufolge: μln = (1/n) · [Σ ln(1 + rt)] . Die Division der Summe der logarithmierten Monatsrenditen (gerundet, in Prozenten) durch 12 liefert in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μln: μln = (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08 + 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135. Ergebnis: Die durchschnittliche logarithmische Monatsrendite der ABCD-Aktie beläuft sich auf 1,135 %.
b.) Berechnung der Varianz σ2 und der Standardabweichung σ der logarithmierten Renditen: 1. Schritt: Um quantitative Aussagen über das (für sich allein betrachtete) Risiko der ABCD-Aktie treffen zu können, ist als Nächstes ihre Varianz zu berechnen. Die Varianz σ2 ist definiert als die Summe aus den ins Quadrat erhobenen Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die Zahl der Einzelausprägungen. Zur Ausmittlung der Varianz einer Grundgesamtheit von Werten bedient man sich also allgemein der folgenden Formel: σ2 = (1/n) · [Σ (rt – μ)2] , wobei unter der Summe die Einzelausprägungen der Grundgesamtheit laufen. Wird aus einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit gesucht ("sample variance"), so führt die Statistik uns vor, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern der Nenner, hier: n, um 1 zu vermindern ist, um eine weitgehend erwartungstreue ("unbiased") Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier an dem Beispiel der ABCD-Aktie vorgeführt – nur eine mäßige Zahl von Beobachtungswerten vorliegt. Wir erhalten demgemäß: σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (rt – μ)2] . Die Varianz wird hierbei bestimmt durch Anwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μln = 1,135, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen in Abzug gebracht und daraufhin quadriert und aufsummiert wird. Anschließend wird noch, wie erfordert, durch (n–1) geteilt. Unsere so abgeänderte Formel lautet demnach: σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (ln (1 + rt) – μln)2] . Die Beispielswerte eingesetzt ergibt die folgende Varianz: σ2 = [(7,70 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (–1,51 – 1,135)2 + (4,21 – 1,135)2 + (1,19 – 1,135)2 + (–6,94 – 1,135)2 + (–4,08 – 1,135)2 + (3,44 – 1,135)2 + (–3,25 – 1,135)2 + (–3,67 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (6,77 – 1,135)2] / 11 = 259,39/11 = 23,58.
2. Schritt: Da die gesuchte historische Volatilität eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird, ist darauf folgend zu ihrer Kalkulation die positive Quadratwurzel aus der oben berechneten Varianz σ2 zu ziehen: σ = [(1/(n – 1)) · [Σ (ln (1 + rt) – μ)2]]½ , bzw. σ = √23,58 = 4,856 %. Die Standardabweichung (σ) der Monatsrenditen beträgt demnach gleich 4,856 %. Man beachte, dass die Standardabweichung σ im Gegensatz zur Varianz σ2 inhaltlich vollkommen kommensurabel ist mit ihren Ursprungswerten. Sie hat insbesondere die gleiche Dimension wie die zu ihrer Aufsuchung verwendeten Zahlengrößen, d.i. in unserem Rechenbeispiel also die Dimension Prozent (%). Hinweis: Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen einer Aktie kann wahlweise zu Schritt 1 und 2 auch nach dem Ausdruck σ = [∑rln2 / (n–1) – [(∑rln)2 / n · (n–1)]]1/2 erfolgen, wobei rln die logarithmierten Renditen der Aktie bezeichnet.
3. Schritt: Aus dem Wunsch, die aus mehreren verschiedenen Vermögensanlagen erwirtschafteten Einzelrenditen, welche bezogen auf ihre Dauer jede für sich überwiegend auseinandergehen werden, so gut wie irgend möglich vergleichbar zu machen, bedient man sich im kaufmännischen Verkehr aus Gründen der Zweckmäßigkeit der Annualisierung der Gewinnraten. So ist es beispielsweise bei den Kreditgeschäften Sitte, nach Prozenten für die Zeitdauer eines Jahres (per annum) zu rechnen, ein Rechnungsverfahren, das bei uns auch unter der Benennung "effektiver Jahreszins" ("annual rate of return") bekannt ist. Ein Ähnliches greift durch bei der Vergleichung von statistischen Standardabweichungen. Hierbei ergibt die auf ein Jahr gewendete ("hochgerechnete") Standardabweichung (= Jahresvolatilität) in ihrer Ausdrucksform das gesuchte Risikomaß, das unter der Bezeichnung Volatilität einer Investitionshandlung endlich Eingang in die Finanzierungslehre gefunden hat. Das für die Berechnung der historischen Volatilität der in Untersuchung gezogenen Geldveranlagung nötige Zahlenmaterial ist wieder aus den vorangegangenen Tagen hergeholt, nämlich von einer planmäßigen Beobachtung des Preises oder Kurses durch eine gewisse Spanne Zeit hindurch. Der im Vorausgehenden angestellte Rechnungsvorgang beispielsweise fußt auf einer monatlichen Kursfeststellung der Aktie. Ebenso wohl ist es angängig, davon abweichende fertig gegebene Zeitspannen als Bezugsgrößen heranzuziehen. Weil an den Handelsplätzen die weitaus meisten Finanztitel heutzutage börsentäglich umgesetzt werden, macht die Volatilitätsberechnung aus naheliegenden Gründen in aller Regel Gebrauch von täglichen, von Schlusskursen stammenden Kursveränderungen, die sie als Urgrößen in ihre Rechnung übernimmt. Gleichviel indes, ob der Rechnung ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsschlusskurse und entsprechende Renditen zugrunde liegen, lassen sich diese mit Leichtigkeit zu der beabsichtigten Jahresvolatilität umgestalten (skalieren). Dafür wird schlicht und einfach die vorliegende Standardabweichung σ malgenommen mit der Quadratwurzel aus der Zahl des sich in einem Jahr wiederholenden Referenzzeitraums. Der Ausdruck für die annualisierte Standardabweichung (= Volatilität) lässt sich somit auf eine handliche Kurzformel bringen:
[Anmerkung: Die Volatilität verhält sich proportional zur Quadratwurzel aus der Zeit. Die Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert also, dass das Risiko einer Investition mit sich entfernendem Anlagehorizont nicht linear (degressiv) zunimmt.] Ist die Standardabweichung, wie hier im Fallbeispiel, die Ergebnisgröße monatlicher Renditen, so hat demgemäß die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung σm mit der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h. σm x √12 = gesuchte historische Volatilität σann der ABCD-Aktie. Die oben gegebenen Werte eingesetzt ergibt:
(Gerundet bis auf 4 Stellen hinter dem Komma.) Die historisch statistische Volatilität lässt sich in vortrefflicher Weise als Vergleichsmaßstab für die Schwankungsbreite kurshabender Vermögenswerte gebrauchen. So schlägt die Volatilität der untersuchten ABCD-Aktie im Zusammenhalt mit manch anderen Aktien recht klein an. Aktien als Anlageklasse ("asset class") genommen haben für gewöhnlich Jahresvolatilitäten, die im langfristigen Durchschnitt ungefähr zwischen 15 und 60% gelegen sind. Sogenannte Blue Chips, also Börsenpapiere ersten Ranges, wie alle die Werte, die z.B. im DAX® oder im Dow Jones (DJIA) enthalten sind, weisen je nach Aktiengattung Volatilitäten zwischen, roh gerechnet, 20 und 40% vor. Die hier betrachtete ABCD-Aktie gehört ihrer mäßigen Volatilität wegen unter die Klasse der "Defensive Issue" (Anlagepapiere). Börsenpapiere der vorgenannten Sorte zeigen sich überwiegend unbeirrt vom Wechsel der Konjunktur und sind meist entweder den altbegründeten, krisenfesten Unternehmungen aus dem Bereich der Konsumgüterhersteller* für den täglichen und gehobeneren Bedarf ("consumer staples", "consumer discretionaries") zuzurechnen oder reihen sich ebensolchen gefestigten Gesellschaften aus dem Zweige der Versorgungsunternehmungen ("utilities") ein. [* Zu den weithin bekannten Aktiengesellschaften dieses Zweiges zählen, neben manchen anderen, z.B. Unternehmungen wie Procter & Gamble und Johnson & Johnson.] Abschließende Anmerkungen: Weil der Handelsverkehr an Wochenenden sowie an Feiertagen gemeinhin ruht, aber auch wegen sonstiger Brüche in den Zeitreihen wird angenommen, dass ein Kalenderjahr lediglich etwa 250 Börsenhandelstage umfasst. Überdies deuten empirische Befunde darauf hin, dass eher Börsenhandelstage denn Kalendertage für eine zutreffende Bestimmung der Volatilität einer Aktie maßgeblich seien. In richtig bemessener Weise multipliziert man zur Annualisierung der Standardabweichung im Falle vorliegender Tagesrenditen daher mit der Wurzel aus 250 statt aus 365, d.h. σann = σt · √250.* [* Möchte man nun umgekehrt aus der vorliegenden Jahresvolatilität σann die zugehörige Tagesvolatiltät errechnen, wäre dementsprechend die Jahresvolatilität mit der Quadratwurzel aus 1/250 malzunehmen, also σt = σann · √1/250. Die Tagesvolatilität der ABCD-Aktie beträgt demnach rund 16,8217%/16 = 1,0514% – Weitere Anmerkung: Da sich durch die Ausbreitung des elektronischen Handels die Börsenhandelszeiten verlängert haben, spräche auch nichts dagegen, aus Zweckmäßigkeitsgründen zur Vereinfachung der Rechnung genau 256 Handelstage zugrunde zu legen. Demnach ergibt sich die gesuchte Tagesvolatilität, indem die Jahresvolatilität schlicht durch 16 geteilt wird.] Um der Steigerung des Aussagegehaltes bei der Ausmittlung der Aktienkursvolatilität willen ist es für den Fall von Tagesrenditen empfehlenswert, den Rechnungsgrößen ungefähr die letzten 90 bis 180 Handelstage zugrunde zu legen, bei Monatsrenditen dagegen sollten es mindestens 36 Monatsrenditen sein. Zwar steigt die Genauigkeit und Zuverlässigkeit einer Schätzung der Volatilität grundsätzlich mit zunehmender Zahl der in die Berechnung einfließenden Renditegrößen; da indessen der Belauf der Volatilität auf die Länge der Zeit erfahrungsgemäß Veränderungen* erfährt, und älteren Renditen oftmals wenig oder gar keine Aussagekraft für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen beschieden ist, kann die Berücksichtigung von mehr als ungefähr 180 Einzelrenditen mitunter sogar abträglich sein. [* Eine brauchbare Nutzung der historischen Volatilität ("realized volatility") zur Schätzung der zukünftig sich verwirklichenden Volatilität ("future realized volatility") impliziert, dass die historische Volatilität auch in den darauf folgenden Zeitstufen unverändert bleibt, was offenkundig der feststehenden Erfahrung zuwiderläuft. Neuestens unternehmen sog. (G)ARCH-Modelle sowie deren Erweiterungen (Exponential GARCH, Integrated GARCH usw.) den Versuch, die in Wahrheit auftretenden Veränderungen der Volatilitäten im Zeitverlauf mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln rechnerisch in den Griff zu bekommen. GARCH steht hierbei als Abkürzung für engl. "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".] Wenngleich sich auch solche Renditeausprägungen, die einkalkulierte Dividenden- und Bezugsrechtserlöse umfassen, auf einfache Weise mit in die Bestimmformel der Volatilität für eine Aktie einstellen ließen, bleiben Renditen dieser Färbung in der wahrhaftigen Rechnung zumeist außer Ansatz. Eine solche methodische Vorgangsweise ist neben anderem zurückzuführen auf den Umstand einer von Fall zu Fall ungleichen steuerrechtlichen Handhabung von Ausschüttungserträgen aus dem Aktienvermögen in den Empfängerkreis der Anteilseigner. Für noch andere oft gebrauchte Zeitintervalle gilt entsprechend: σann = σw · √52 für Wochenrenditen, und σann = σq · √4 für Quartalsrenditen. Zu einer genauer bestimmten Ausmittlung der Volatilität wird eine Spanne Zeit von gewisser Länge herangezogen, die sich für den vorgesehenen Zweck am meisten empfiehlt. Im obigen Beispiel etwa wurde die Volatilität aus den Monatsrenditen durch ein ganzes Jahr hindurch berechnet (12-Monate-Volatilität). Der Ermittlung der Volatilität können indes grundsätzlich beliebige Zeiträume zugrunde gelegt werden. Es können dafür Tages-, Wochen-, Monats-, Vierteljahres-, Jahresrenditen oder ganz andere Zeitspannen gleichermaßen zur Anwendung kommen, die sich keineswegs mit der Länge des Kalenderjahres decken müssen. Liegen der Rechnung beispielshalber Tagesrenditen für die Schlusskurse der letzten 30 Handelstage zugrunde, die auf das Jahr hochgerechnet wurden, so spricht man von einer 30-Tage-Volatilität (p.a). Bei einer Volatilität dieses Namens wie auch im Falle der 250-Tage-Volatilität (p.a.) – beide sind in der Wirtschaftspresse besonders häufig anzutreffen – bedarf es einer Annualisierung nicht mehr, da sie der gesuchten Kennzahl "historische Volatilität, σann" bereits entsprechen. Um bei der vergleichenden Gegenüberstellung von Aktien, die sich sowohl rücksichtlich ihres Risikos als auch ihrer Renditeerwartungen unterschiedlich zeigen, Aussagen mit Anspruch auf erhöhte Treffsicherheit zu machen, greift man neben anderen häufig auf ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sogenannten Variationskoeffizienten v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ, d.h. v = σ/μ. Es beziffert damit das übernommene Risiko für die Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie hat demnach einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856/1,135 = 4,278.* [* Nicht verkannt werden darf, dass v, hierin ungleich seiner Bestimmungsgrößen, als dimensionslos anzusehen ist.] Der sachliche Nachteil indes, der dem Variationskoeffizienten v aus sich heraus anklebt, ist aus seiner hochgradigen Empfindlichkeit (Reagibilität) zu erklären, die besonders dann spürbar wird, wenn er sich auf verwirklichte Tages-Renditen oder doch auf die Verwirklichung nur von sehr kleinen Renditeausprägungen stützt. Das macht ihn letztendlich für eine nicht eben geringe Anzahl praktischer Zwecke bloß in recht eng begrenztem Maße tauglich. Nächst dem Ansatz der historischen Volatilität steht ein zweiter Ansatz aufrecht, welcher der zukünftig sich verwirklichenden Volatilität gerecht zu werden sucht: die sogenannte implizite Volatilität ("implied volatility", "implicit volatility"). Diese erlangt Bedeutung im Zusammenhang mit Optionsgeschäften und lässt sich schicklich auf der Grundlage eines Optionspreismodells, wie es etwa unter der Bezeichnung "Black-Scholes-Merton-Modell" in Fachkreisen bekannt ist, mit logischer Bestimmtheit erschließen, wenn aus inneren Gründen (implizit) davon auszugehen ist, dass die infrage stehende Option am Markt gegenwärtig eine sachgerechte und angemessene ("faire") Bewertung erfährt. In diesem Fall gibt sie die allgemeine Marktbeurteilung der voraussichtlich durch die Laufzeit der Option hindurch bestehenden und als gleichbleibend angenommenen Volatilität des Optionsgegenstandes ("underlying") wieder. Man erhält die gegenwärtige Kennzahl der impliziten Volatilität (kurz: IV) aus dem im Handelsverkehr zu gleicher Zeit hervorgebrachten und als angemessen betrachteten Optionspreis für das untersuchte Finanzinstrument, indem dieser nebst den anderen bekannten Größen* – falls vorhanden – als Preisziffer Eingang in die Optionspreisformel finden. Die gesuchte implizite Volatilität ist hierbei eindeutig beschrieben als jene Volatilität σ, bei der sich mathematisch bestimmt der theoretische Optionspreis aus der Formel dem tatsächlichen Marktpreis der untersuchten Option (Optionsprämie) gleichstellt. Die implizite Volatilität leistet in der Anwendung gute Dienste als Risikomaß, indem sie einen Schätzwert abgibt über die zu erwartende Schwankungsstärke des bezüglichen Marktpreises für die Dauer der Optionsfrist. [* Diese Größen ("Parameter") umfassen 1.) den vorliegenden Preis des Basisgegenstandes, 2.) den Ausübungspreis, 3.) die Restlaufzeit, 4.) den Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Laufzeit, sowie gegebenenfalls 5.) die während der Laufdauer aus dem Basiswert verdienten Erträgnisse (z.B. Dividenden).]
"Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen,
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