DeiFin – Die Finanzseite

Home ] Zurück ] Feedback ] Impressum ] Suchen ] Content ]

     Rendite, Risiko und Volatilität

Futures
Optionen
Hedging
Märkte
Themen
Rat und Tipps
Bücher
Glossar
Links

 

 

 

    Über die Volatilität

Volatilität (abgeleitet vom italienischen volare, »fliegen«, »Flatterhaftigkeit«, »Beweglichkeit«) ist ein in der Finanzwirtschaft geläufiges Maß für das einer marktmäßig gehandelten Geldanlageform anhaftende (aggregierte) Gesamtrisiko durch Marktpreisfluktuation. Das hiermit angesprochene finanzielle Gesamtrisiko einer Kapitalverwendung erfüllt sich in der für möglich und denkbar gehaltenen künftigen Schwankungsbreite (Streuung, Variabilität) ihrer Zielgröße (Kurs, Preis, Rendite und sonstige Wertgrößen) um deren erwarteten Mittelwert, dem Schwankungszentrum. Je breiter sich die Streuung der Zielgröße um diesen Referenzwert verteilt, desto höher liegt die Volatilität, und umso risikoreicher erscheint damit die Investition als Ertragsquelle. Andrerseits gilt: Der Grad der Gewissheit, dass genau derjenige Kurs-, Preis-, Wert-, Rendite-Stand usw. sich tatsächlich einspielt, auf den man mit vernünftigem Grund rechnen kann, steigert sich ist dem Maße, als sich die Streuung um den Referenzwert der Zielgröße enger stellt. Oder mit einem Worte: je schmaler die Streubreite und je gleichmäßiger mit ihr der Wertstand, desto sicherer und zuverlässiger wird die Kapitalinvestition.

Das Hauptaugenmerk der Volatilität ist ganz auf die fragliche Gangart der Preise gerichtet. Ein Markt wird schlechtweg als volatil bezeichnet, wenn die auf ihm hervorgebrachten Preise nicht unbeträchtlich schwingen.* Geld in stürmisch schwankende (volatile) Märkte hineinzuverwenden kommt also von selbst einer gewagten, "unsicheren" Kapitalsanlage gleich. Umgekehrt gilt eine Kapitalauslage auf einem mit einem Festpreis versehenen Markt als vergleichsweise sicher. Bei schärferem Zusehen umschreibt die Volatilität – im Wirtschaftsleben vorzugsweise die von kurshabenden Wertpapieren (= Kursvolatilität) – die Häufigkeit und Stärke der Preisausschläge in der Richtung nach aufwärts wie nach abwärts, oder, wie der gelehrte Ausdruck lautet, den Grad der Variationsfähigkeit der Preise. Mit ganz unterschiedlichen Ergebnissen. So ist es ein grundlegender Erfahrungssachverhalt, dass die Verteilung der Börsenpreise von Aktien in bewegten, schwunghaften Zeiten heftiger schwankt als in geordneten, und weiter, dass die Preise der letzterwähnten Klasse der Geldanlage in ihrer Gesamtheit gewöhnlich wieder schrofferen Schwankungen ausgesetzt sind als man das unter regelmäßigen Verhältnissen bei den Preisen der festverzinslichen Wertpapiere ("Bonds") zu beobachten vermag. Gleichviel nun, welche Art von Wertpapier in Frage steht: Der Natur der Sache nach wird die Volatilität anwachsen bei plötzlich auftretenden Preiserschütterungen; sie wird wieder abflauen bei Eintritt einer Beruhigung der Marktlage.

[* Der Markt befindet sich damit gewissermaßen im Zustand einer nervösen Spannung, die sich vermehrt in unruhigen, hastigen Preisschwankungen äußert. So nämlich, wenn die Preiskurve auf kürzere Frist im Zickzack irrlichteliert.]

Im allgemeinsten und freilich auch vagsten Verstand lässt sich über das Risiko aussagen, dass dessen Inerscheinungtreten das Ergebnis, auf das wir es abgesehen haben, zweifelhaft macht. Insofern ist unter dem Walten des Risikoeinschlags die Aussicht auf Erlangung eines wirtschaftlichen Vorteils notorisch der Unsicherheit preisgegeben. Ob ein solcher sich überhaupt einstellt und falls so, zu welchem Zeitpunkt und in welcher Größenordnung, lässt sich nicht mit Bestimmtheit voraussehen. Mitunter liegt sogar die Gefahr einschneidender Vermögensverluste ganz nah. Hiernach müsste leicht einzusehen sein, dass das in der Volatilität gelegene Begriffsverständnis von Risiko* nicht allein negative, sondern gleichfalls positive Abweichungen von der erwarteten Zielgröße rundweg mit umfasst. Eine erhöhte Volatilität geht demgemäß einher mit einer erheblichen Wertgefahr, gleichzeitig aber auch mit einer entsprechend guten Gewinnaussicht; und umgekehrt. Über die Richtung selbst sagt sie indessen nichts aus.

[* Aus diesem Gesichtspunkt steht die Gegebenheit des Risikos hier in der Abhandlung im entscheidungstheoretischen Sinne in Verwendung, nämlich als Ausdruck für eine idealisierte Erscheinungsform von Unsicherheit.]

Gelegentlich findet sich im finanzwirtschaftlichen Schrifttum noch ein zweites, verengertes Begriffsverständnis von Risiko durch Kapitalüberlassung: Danach steht der Begriff von Risiko entweder in der Bedeutung, die ursprünglich ins Auge gefasste Mindestverzinsung zu verfehlen oder er wird schlicht und einfach mit Verlustgefahr gleichgesetzt ("downside-risk", "pure risk"). Die Möglichkeit der Verwirklichung eines den Erwartungswert (Durchschnittswert) übertreffenden Wertes fällt dahingegen eigens unter den Begriff der "Chance". Richtet sich das Augenmerk hinwiederum weniger auf das gesamte, d.i. das im Rahmen der Portfolioauswahl "aggregierte" Risiko einer Investition für sich allein genommen, als hauptsächlich und namentlich auf das marktbezogene Risiko als besonderem Teil des einem Investitionsobjekt eigenen Gesamtrisikos, so vermag der sogenannte Beta-Faktor den allgemeinen Vorzug vor dem Volatilitätsmaß zu behaupten. Dies liegt vor allem darin, dass der Beta-Faktor sich nicht nur in der Theorie, sondern auch in der Finanzpraxis für diesen Zweck oft genug als die entschieden tauglichere Maßgröße erwiesen hat. – Zu den noch mehr zeitgemäß fortgebildeten Risikomaßen gehören Maße wie "sharpe-ratio" oder "value at risk" (VaR).

Die Volatilität ist an sich weder eine Nutzen oder Schaden bringende noch auch eine bedeutungslose oder gleichgültige Erscheinung. Durch ihr bloßes Dasein steigert sie weder das Maß von Wohlfahrt noch tut sie ihr irgendeinen Eintrag. Zwar ist die Volatilität als Markttatbestand wahrhaftig feststellbar; sie ist aber erst an ihren Aufgaben zu bemessen und zu beurteilen. Sie wird allemal dann von nutzbringendem Einfluss sein, wenn sich Nachrichten über Zeitereignisse von allumfassender Wichtigkeit für den Markt mit ihrem Eintreffen getreu und unverzüglich in den Preisen niederschlagen (fundamentale Volatilität). Sie wird jedoch verderblich sein, wenn sie durch entsprechende Tatsacheninhalte nicht gestützt und also ganz ohne innere Berechtigung ist ("oszillierende Preisschwankungen"; "transitorische Volatilität", "noise")*. Das Amt einer Obrigkeit kann es darum letzten Endes unmöglich sein, die Volatilität entschieden an ihrer Entfaltung zu hindern.

[* Dies scheint weniger die Ausnahme als die Regel zu sein. Empirische Studien weisen vermehrt darauf hin, dass ein guter Teil der Volatilität nicht durch einen bestimmten von außen kommenden Anstoß, sondern durch den Handelsverkehr selbst erzeugt wird, da dieser für den eigenen Ansporn ein stetes Auf- und Niedertanzen (Oszillieren) der Preise erfordert.]

Das Risiko einer kurshabenden Geldanlage lässt sich sowohl nach quantitativen wie nach qualitativen* Maßstäben messen. Die quantitative Erfassung des Risikos nimmt ihren Ausgang anstatt von absoluten Kursgrößen fast immer von Kursrelationen. Sie greift vornehmlich auf die Verhältniszahl Rendite (Gewinn- oder Profitrate, Kapitalrente, interner Zinsfuß, "rate of return") als die maßgebende Zielgröße des Kalküls zurück. Die Rendite stellt diejenige Ertragskennzahl dar, die in Wirtschaftstheorie und kaufmännischer Praxis die weiteste Verbreitung als Beurteilungsmaßstab für die Vorteilhaftigkeit (Performance) finanzwirtschaftlicher Maßnahmen gefunden hat. Die erzielte Rendite (vor Steuern) eines untersuchten Investitionsgegenstandes bemisst sich nach dem finanziellen Ergebnis (Vermögenszuwachs/-minderung), welches die während einer betrachteten Abrechnungsperiode anfänglich eingesetzten und darin gebundenen eigenen und/oder fremden Gelder hervorgebracht haben, indem es zur Größe der Letzten ins Verhältnis gesetzt wird. So sagt eine Rendite von beispielsweise "10%" (bzw. "0,1") aus, dass jede anfangs veranlagte Geldeinheit zum Periodenende den zehnten Teil (10 Prozent) über ihren ursprünglichen Wert hinaus verdient, und sich damit auf 1,1 Geldeinheiten vermehrt hat (= Kapitalzuwachs).**

[* Die qualitative Risikobeurteilung dagegen stellt auf die Bonität ab und umfasst vorzugsweise die Einstufung in verschiedene vordefinierte Rating-Kategorien durch Ratingagenturen.]

[** Der methodische Vorzug relativer Veränderungsraten von Kursen (= Renditen) besteht außer in der dadurch möglich werdenden einfachen Vergleichung von Ergebnissen – zumal bei unterschiedlich hohen Investitionssummen – insonderheit darin, dass ihr Gebrauch ein konsistentes Arbeiten mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Zufallsgesetzmäßigkeiten erlaubt und diese hierbei zu gefälligen mathematischen Lösungen führen. Dieser Befund gilt nicht zum wenigsten von logarithmierten Renditegrößen.]

 

Auf jedem Arbeitsfeld unter vernünftiger Wirtschaftsführung weist man die frei verfügbaren finanziellen Mittel der Reihe nach in die ergiebigsten Verwendungsgelegenheiten ein. Eine offenstehende und zu beurteilende Investition bringt für sich allein genommen immer dann einen wirtschaftlichen Vorteil heim, wenn ihre Rendite den zu ihrer Finanzierung angeschlagenen Zinsfuß zu übersteigen vermag (positiver Kapitalwert). Im Falle der Eigenkapitalfinanzierung wird sich die maßgebende Zinsrate ausrichten an der nächstbesten, innerhalb der jeweiligen Risikoklasse alternativen (entgangenen) Rendite, die um ihretwillen nicht mehr verwirklicht werden kann (Opportunitätskostenprinzip). Alle sonstigen Investitionen, deren Renditen hinter der in Ansatz gebrachten Zinsrate zurückbleiben, gelten als unrentabel. Retrospektiv, also zurückblickend lässt sich die Rendite der Haltezeit (= Ex-post-Rendite, historische Rendite) stets mit voller Treue ausmessen und entsprechend würdigen; für eine sachgerechte Anlageplanung und Entscheidungsfindung im Finanzleben ist jedoch die prospektive, d.i. die zukunftsbezogene Rendite (also die voraussichtliche oder erwartete Rendite = Ex-ante-Rendite, ausgedrückt gemeinhin durch den mathematischen "Erwartungswert" der Rendite) maßgebend.

Der methodische Ansatz zur rechnerischen Ermittlung der historischen (empirischen) Volatilität einer Kapitalanlage ("historical volatility", "realized volatility") basiert auf der Berechnung der statistischen Standardabweichung (σ; gr.: kl. Sigma). Als Urmaterial dienen ihr üblicherweise Zeitreihen von erfolgten Investitionsrenditen im untersuchten Markt durch einen  bestimmten Beobachtungszeitraum hindurch. Die Standardabweichung σ ihrerseits, die man in der Statistik gemeinhin als zentrales Moment 2. Ordnung, allgemein auch als "Streuung", "Dispersion", "mittlere quadratische Abweichung" oder "mittlerer Fehler" kennt, stellt sich bekanntlich durch die positiv genommene Wurzel der Varianz σ2 heraus. Die Standardabweichung σ misst hiernach die durchschnittliche Abweichung der einzelnen während einer bestimmten Untersuchungsperiode beobachteten (Tages-, Wochen-, Monats-, Jahres- usw.) Investitionsrenditen von ihrem Mittelwert (μ; gr.: kl. My).

Der für die Beurteilung der auf die Vergangenheit gerichteten Wertbewegung genutzte Leitgedanke ("performance evaluation") lässt sich vorwärtsschauend auf erwartete (zukunftsbezogene und damit unsichere, zufällige) Werte übertragen, sofern man unterstellt, dass dagewesene Renditeausprägungen bestimmend ("indikativ") für zukünftige Renditeausprägungen sind. Die Standardabweichung vom Erwartungswert der Rendite steht bei diesem Vorgang dann stellvertretend als Maß für das Risiko der als bekannt vorausgesetzten gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen einer Investition*. Wie die alltägliche Anschauung lehrt, erhöhen sich die Renditeerwartungen in dem Grade, als das mutmaßliche Risiko steigt; und umgekehrt ("risk/return tradeoff"). Die in der Standardabweichung gemessene Volatilität eines Kapitalpostens liefert mithin einen zweckdienlichen Anhaltspunkt bei der Erwägung, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein angestrebtes Kursziel erreichen lässt.

[* Methodologisch zu prüfen wäre, ob es überhaupt am Platze ist, die Unsicherheit in der Vorausbestimmung von Börsenkursen auf Standardabweichung und Erwartungswert einer statistischen Verteilung zu verdichten.]

Gesetzt den Fall, die Renditeverteilung einer Investition ist an statistische Regelmäßigkeiten gebunden, wie etwa durch die Gaußsche Normalverteilung unmittelbar zum Ausdruck gebracht, so lässt sich das Risiko vollständig beschreiben. Gehorcht sie der letztgenannten, so gilt demgemäß: Im Bereich [μ – 1σ | μ + 1σ] liegen 68,268 % der Renditen, im Bereich [μ – 2σ | μ + 2σ] liegen 95,45 % und im Bereich [μ – 3σ | μ + 3σ] liegen 99,73 % der Renditen.

[Anmerkung: Statistische Verteilungen beschreiben Zufallsgesetzmäßigkeiten. Bei der Gaußschen Normalverteilung lehrt allein der Augenschein, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Rendite zwischen +/– einer Standardabweichung vom Erwartungswert liegt, etwa 2/3 beträgt und infolge davon jeweils etwa 1/6 dafür, dass sie unterhalb bzw. oberhalb dieses Intervalls liegt. Diese Aussage hat jedoch ihrer asymmetrischen Gestalt halber keine Geltung für logarithmierte Normalverteilungen.]

 

Aufzählung

Beispiel zur Berechnung der Renditen und der historischen Volatilität einer Aktie aus den festgestellten Schlusskursen:

Es sei die historische Volatilität für die ABCD-Aktie auszurechnen. Dazu stellen wir beispielhaft die Veränderungsreihe der im soeben abgelaufenen Jahr (einschl. Dezember des Vorjahres) an der Börse festgestellten Monatsschlusskurse auf:*

Monat Dez Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez
Kurs 100,00 108,00 113,40 111,70 116,50 117,90 110,00 105,60 109,30 105,80 102,00 107,10 114,60

 

[* Ebenso gut könnten Tageskurse, Wochenkurse, Quartalskurse oder auch die Kurse jeder beliebigen Zeitperiode der Operation zugrunde gelegt werden.]

 

a.) Berechnung der Monatsrenditen der ABCD-Aktie: 1.Schritt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Es sei angenommen, nach der Erhebung der Daten liege für die ABCD-Aktie eine Kurssequenz von Monatsschlusskursen gemäß der vorstehenden Tabelle als gegeben vor. Im ersten Schritt sollen nun die Periodenrenditen der Aktie für die einzelnen Monate (in unserem Beispielsfall also die der Monate Januar bis Dezember) berechnet werden. Dazu wird der Schlusskurs der jeweiligen Periode durch den Schlusskurs der Vorperiode dividiert (vgl. in der nachstehenden Tabelle die mittlere Zeile "1 + Rendite"; engl. "value relative"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten wir im Ergebnis die folgenden 12 Monatsrenditen (in Prozenten), wie in der letzten Zeile der nachstehenden Tabelle aufgezeigt:

 

Monat Dez Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez
Kurs 100,00 108,00 113,40 111,70 116,50 117,90 110,00 105,60 109,30 105,80 102,00 107,10 114,60
1+Rendite 1,080 1,050 0,985 1,043 1,012 0,933 0,960 1,035 0,968 0,964 1,050 1,070
Rendite 8 % 5% 1,5% 4,3% 1,2% 6,7% 4% 3,5% 3,2% 3,6% 5% 7%

 

2.Schritt:

Um bei der Kalkulation der Volatilität nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen, wird im Schrifttum gefordert, dass dem Investor eine sog. "quadratische Bernoulli-Nutzenfunktion" zuzuführen sei und/oder dass die Renditen des Investitionsobjekts statistisch normalverteilt seien. Da logarithmierte (stetige) Aktienrenditen im Gegensatz zu einfachen (diskreten) Renditen ungeschwächt für normalverteilt gelten*, werden in diesem Schritt die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der obigen Tabelle mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert. Als Ergebnis (dann wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir eine Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Arbeitstabelle zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen).

 

Monat Dez Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez
Kurs 100,00 108,00 113,40 111,70 116,50 117,90 110,00 105,60 109,30 105,80 102,00 107,10 114,60
1+Rendite 1,080 1,050 0,985 1,043 1,012 0,933 0,960 1,035 0,968 0,964 1,050 1,070
Rendite 8% 5% 1,5% 4,3% 1,2% 6,7% 4% 3,5% 3,2% 3,6% 5% 7%
log. Rend. 7,70% 4,88% –1,51% 4,21% 1,19% –6,94% –4,08% 3,44% –3,25% –3,67% 4,88% 6,77%

[* Die Annahme einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet die Restriktion, dass der Aktionär niemals mehr Geld verlieren kann als die Geldsumme ausmacht, die er auf den Kauf seiner Aktien ausgelegt hat. Als eine für den Finanzpraktiker wie den Theoretiker gleichermaßen sich günstig erweisende Eigenschaft logarithmierter Renditen tritt hinzu, dass sie nicht nur den wirklichen Verhältnissen auf den Sekundärmärkten recht nahe kommen, sondern dass unter ihrer Beihilfe, zumal bei Grenzwertuntersuchungen, sich damit in methodisch schlüssiger, folgerichtiger Weise rechnen lässt.]

[** Der natürliche Logarithmus hat die Konstante e = 2,71828... zur Basis, dem zugestrebten Grenzwert der Folge (1+1/n) n, mit n .]

 

3. Schritt:

Nachfolgend wird der arithmetische Durchschnitt (Mittelwert) μ der vorliegenden 12 logarithmierten Monatsrenditen ausgerechnet. Das arithmetische Mittel einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen r einer Investition ergibt sich allgemein nach der Formel:

μ = (1/n) · Σ rt   ,

mit

n : Anzahl der der Rechnung zugrunde liegenden Renditen,

rt : Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) , und

Σ : Summensymbol (gr. Sigma, nach dem achtzehnten Buchstaben des griechischen Alphabets).

Die modifizierte Formel zur Errechnung des logarithmierten Mittelwerts (μln) lautet demgemäß:

μln = (1/n) · [Σ ln(1 + rt)]   .

Die Division der Summe der logarithmierten Monatsrenditen (gerundet, in Prozenten) durch 12 liefert in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μln:

μln = (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08 + 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135.

Ergebnis: Die durchschnittliche logarithmische Monatsrendite der ABCD-Aktie beträgt 1,135 %.

 

b.) Berechnung der Varianz σ2 und der Standardabweichung σ der logarithmierten Renditen: 1. Schritt:

Um quantitative Aussagen über das (für sich allein betrachtete) Risiko der ABCD-Aktie treffen zu können, ist als Nächstes ihre Varianz zu berechnen. Die Varianz σ2 ist definiert als die Summe aus den ins Quadrat erhobenen Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die Zahl der Einzelausprägungen. Zur Ausmittlung der Varianz einer Grundgesamtheit von Werten bedient man sich also allgemein der folgenden Formel:

σ2 = (1/n) · [Σ (rt μ)2]   ,

wobei unter der Summe die Einzelausprägungen der Grundgesamtheit laufen.

Wird aus einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz einer Grundgesamtheit gesucht, so führt die Statistik uns vor, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern der Nenner, hier: n, um 1 zu vermindern ist, um eine weitgehend erwartungstreue ("unbiased") Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier am Beispiel der ABCD-Aktie demonstriert – nur eine mäßige Zahl von Beobachtungswerten vorliegt. Wir erhalten demgemäß:

σ2 = [1/(n 1)] · [Σ (rt μ)2]   .

Die Varianz wird hierbei bestimmt unter Anwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μln = 1,135, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen in Abzug gebracht und daraufhin quadriert und aufsummiert wird. Anschließend wird noch, wie erfordert, durch (n1) geteilt. Unsere so modifizierte Formel lautet dementsprechend:

σ2 = [1/(n 1)] · [Σ (ln (1 + rt) μln)2]   .

Die Beispielswerte eingesetzt ergibt die folgende Varianz:

σ2 = [(7,70 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (–1,51 – 1,135)2 + (4,21  – 1,135)2 + (1,19 – 1,135)2 + (–6,94 – 1,135)2 + (–4,08 – 1,135)2 + (3,44 – 1,135)2 + (–3,25 – 1,135)2 + (–3,67 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (6,77 – 1,135)2] / 11 = 259,39/11 = 23,58.

 

2. Schritt:

Da die gesuchte historische Volatilität eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird, ist zu ihrer Kalkulation als Nächstes die positive Quadratwurzel aus der oben berechneten Varianz σ2 zu ziehen:

σ = [(1/(n 1)) · [Σ (ln (1 + rt) μ)2]]½   , bzw.

σ = 23,58 = 4,856 %.

Die Standardabweichung (σ) der Monatsrenditen beträgt demnach gleich 4,856 %. Man beachte, dass die Standardabweichung σ im Gegensatz zur Varianz σ2 inhaltlich vollkommen kommensurabel ist mit ihren Ursprungswerten. Sie hat insbesondere die gleiche Dimension wie die zu ihrer Aufsuchung verwendeten Zahlengrößen, d.i. in unserem Rechenbeispiel also die Dimension Prozent (%).

Hinweis: Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen einer Aktie kann alternativ zu Schritt 1 und 2 auch nach der Formel

σ = [∑rln2 / (n–1) – [(∑rln)2 / n · (n–1)]]1/2 erfolgen, wobei rln die logarithmierten Renditen der Aktie bezeichnet.

 

3. Schritt:

Um die aus mehreren verschiedenen Vermögensanlagen erwirtschafteten Renditen, die der Mehrzahl nach in ihrer Dauer auseinandergehen werden, vergleichbar zu machen, bedient man sich aus Gründen der Zweckmäßigkeit in der Wirtschaftspraxis der Annualisierung der Gewinnraten. So ist es beispielsweise bei den Kreditgeschäften Sitte, nach Prozenten per annum zu rechnen, ein Verfahren, das bei uns auch unter der Bezeichnung "effektiver Jahreszins" ("annual rate of return") bekannt ist. Ein Ähnliches gilt bei der Vergleichung von statistischen Standardabweichungen. Dabei ergibt die auf ein Jahr gewendete ("hochgerechnete") Standardabweichung (= Jahresvolatilität) in ihrer Ausdrucksform das gesuchte Risikomaß, das unter der Bezeichnung Volatilität eines Investitionsobjekts Eingang in die Finanzierungslehre gefunden hat.

Das für die Berechnung der historischen Volatilität der in Untersuchung gezogenen Aktie nötige Kursmaterial ist wieder aus der Vergangenheit hergeholt, nämlich von einer planmäßigen Beobachtung des Kurses durch eine gewisse Spanne Zeit. Die im Vorausgehenden angestellte Rechnungsoperation fußt beispielsweise auf einer monatlichen Kursfeststellung. Ebenso wohl ist es angängig, davon abweichende fertig gegebene Zeitintervalle als Bezugsgrößen heranzuziehen. Da auf den Märkten die weitaus meisten Finanztitel heutzutage börsentäglich umgesetzt werden, macht die Volatilitätsberechnung demgemäß aus naheliegenden Gründen in aller Regel Gebrauch von täglichen, von Schlusskursen stammenden Kursänderungen, die sie als Urmaterial in ihre Rechnung übernimmt. Gleichviel indes, ob der Rechnung ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsschlusskurse und entsprechende Renditen zugrunde liegen, lassen diese sich auf mit Leichtigkeit in die intendierte Jahresvolatilität umgestalten. Dazu wird schlicht und einfach die vorliegende Standardabweichung σ malgenommen mit der Quadratwurzel aus der Zahl des sich in einem Jahr wiederholenden Referenzzeitraums.

Der Ausdruck für die annualisierte Standardabweichung (= Volatilität) lässt sich somit auf eine klare Formel bringen:

σann = σ · n   .

[Anmerkung: Die Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert, dass das Risiko einer Investition mit sich entfernendem Anlagehorizont nicht linear (degressiv) zunimmt.]

Ist die Standardabweichung, wie hier im Fallbeispiel, die Ergebnisgröße monatlicher Renditen, so hat demgemäß die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung σm mit der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h. σm x 12 = gesuchte historische Volatilität σann der ABCD-Aktie. Die oben gegebenen Werte eingesetzt ergibt:

σann = σm · 12 = 4,856% · 3,4641 = 16,8217 % = Volatilität der ABCD-Aktie.

   (Gerundet bis auf 4 Stellen hinter dem Komma.)

Die historische Volatilität lässt sich in vortrefflicher Weise als Vergleichsmaßstab für die Schwankungsbreite von kurshabenden Vermögenswerten verwenden. So fällt die Volatilität der ABCD-Aktie im Zusammenhalt mit manch anderen Aktien recht dürftig aus. Aktien als Anlageklasse ("asset class") genommen haben für gewöhnlich Jahresvolatilitäten, die im langfristigen Durchschnitt ungefähr zwischen 15 und 60% gelegen sind. Sogenannte Blue Chips, also Aktien ersten Ranges, so wie die, die z.B. im DAX® oder im Dow Jones (DJIA) enthalten sind, weisen je nach Aktiengattung Volatilitäten zwischen, roh gerechnet, 20 und 40% vor. Die hier betrachtete ABCD-Aktie lässt sich ihrer geringen Volatilität wegen der Klasse der "Defensive Issue" (Anlagepapiere) zuordnen. Aktien der vorgenannten Sorte zeigen sich überwiegend unbeirrt vom Wechsel der Konjunkturzyklen und gehören meist entweder zu den altbegründeten, krisenfesten Unternehmungen der Nahrungsmittelbranche oder zu ebensolchen gefestigten Gesellschaften aus dem Zweige der Versorgungsunternehmungen (zu den sog. "utilities").

Abschließende Anmerkungen: Da das Kalenderjahr aufgrund von Handelspausen an Wochenenden und Feiertagen je nach Land lediglich über rund 250 Börsenhandelstage verfügt und empirische Befunde überdies darauf hindeuten, dass eher Börsenhandelstage denn Kalendertage für eine angemessene Bestimmung der Volatilität einer Aktie maßgeblich sind, multipliziert man zur Annualisierung der Standardabweichung im Falle vorliegender Tagesrenditen mit der Wurzel aus 250, statt aus 365, d. h. σann = σt · 250.

Um der Steigerung des Aussagegehaltes bei der Ausmittlung der Aktienkursvolatilität willen empfiehlt es sich, im Falle von Tagesrenditen den Rechnungsgrößen ungefähr die letzten 90 bis 180 Handelstage zugrunde zu legen, bei Monatsrenditen dagegen mindestens 36 Monatsrenditen. Zwar steigt die Genauigkeit einer Schätzung grundsätzlich mit zunehmender Zahl der in die Berechnung einfließenden Renditegrößen; da sich indessen der Belauf der Volatilität erfahrungsgemäß auf die Länge der Zeit ändert*, und älteren Renditen oftmals wenig oder gar keine Aussagekraft für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen beschieden ist, kann die Berücksichtigung von mehr als etwa 180 Renditen mitunter sogar kontraproduktiv sein.

[* Die Nutzung der historischen Volatilität ("realized volatility") zur Schätzung der zukünftigen Volatilität ("future volatility") impliziert, dass die historische Volatilität auch in der jeweils künftigen Periode konstant bleibt. In jüngerer Zeit versuchen sog. (G)ARCH-Modelle, die in Wahrheit auftretenden zeitlichen Änderungen der Volatilitäten mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln in den Griff zu bekommen. GARCH ist die Abkürzung von "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".]

Wenngleich sich auch solche Renditeausprägungen, die einkalkulierte Dividenden- und Bezugsrechtserlöse umfassen, auf einfache Weise mit in die Bestimmformel der Volatilität für eine Aktie einstellen ließen, bleiben Renditen dieser Färbung in der wahrhaftigen Rechnung zumeist außer Ansatz. Eine solche methodische Vorgangsweise ist neben anderem zurückzuführen auf den Umstand einer von Fall zu Fall ungleichen steuerlichen Handhabung von Ausschüttungserträgen aus dem Aktienvermögen in den Empfängerkreis der Aktionäre.

Für andere häufig genutzte Zeitintervalle gilt analog:

σann = σw · 52 für Wochenrenditen, und σann = σq · 4 für Quartalsrenditen.

Zur Ausmittlung der Volatilität wird eine Zeitperiode von gewisser Länge herangezogen, die sich für den vorgesehenen Zweck am meisten empfiehlt. Im obigen Beispiel etwa wurde die Volatilität aus Monatsrenditen durch ein ganzes Jahr berechnet. Der Ermittlung der Volatilität können grundsätzlich beliebige Zeitintervalle zugrunde gelegt werden. Es können dafür Tages-, Wochen-, Monats-, Quartals- oder Jahresrenditen gleichermaßen zum Einsatz kommen. Liegen der Rechnung beispielshalber Tagesrenditen der Schlusskurse der letzten 30 Handelstage zugrunde, die auf das Jahr hochgerechnet wurden, so spricht man von einer 30-Tage-Volatilität (p.a). Hier wie auch im Falle einer 250-Tage-Volatilität p.a. – beide sind in der Wirtschaftspresse besonders häufig anzutreffen – bedarf es einer Annualisierung nicht mehr, da sie der gesuchten Kennzahl "historische Volatilität, σann" bereits entsprechen.

Um bei der vergleichenden Gegenüberstellung von Aktien, die sich sowohl rücksichtlich ihres Risikos als auch ihrer Renditeerwartungen unterschiedlich zeigen, Aussagen mit Anspruch auf erhöhte Treffsicherheit zu machen, greift man neben anderen häufig auf ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sog. Variationskoeffizienten v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ, d. h. v = σ/μ. Es beziffert damit das übernommene Risiko pro Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie hat demnach einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856 / 1,135 = 4,278.*

[* Nicht verkannt werden darf, dass v, hierin ungleich seiner Bestimmungsgrößen, als dimensionslos zu betrachten ist.]

Der sachliche Nachteil indes, der dem Variationskoeffizienten v aus sich anhaftet, beruht auf seiner empfindlich ausgeprägten Reagibilität, spürbar besonders dann, wenn er sich auf verwirklichte Tagesrenditen, jedenfalls auf Renditerealisationen von nur sehr geringer Höhe stützt. Dies macht ihn in letzter Linie für eine große Anzahl von praktischen Zwecke nur in eng begrenztem Maße tauglich.

Neben dem Ansatz der "historischen Volatilität" steht ein zweiter Ansatz aufrecht, welcher der künftigen Volatilität gerecht zu werden sucht: die sog. "implizite Volatilität" ("implied volatility", "implicit volatility"). Diese lässt sich auf der Grundlage eines Optionspreismodells, wie es etwa das Black-Scholes-Merton-Modell ist, logisch erschließen, wenn implizit davon auszugehen ist, dass die fragliche Option am Markt eine faire und angemessene Bewertung erfährt. In diesem Fall gibt sie die allgemeine Markteinschätzung der voraussichtlichen Volatilität durch die Laufzeit der Option wieder. Man erhält die Kennzahl der impliziten Volatilität (kurz: IV), falls existent, aus den hervorgebrachten Optionspreisen des betreffenden Finanzinstruments, indem diese, neben den anderen bekannten Größen*, als Preisziffer Eingang in die Optionspreisformel finden. Die gesuchte implizite Volatilität ist hierbei definiert als jene Volatilität σ, bei der sich der theoretische Optionspreis dem tatsächlichen Marktpreis der untersuchten Option (Optionsprämie) gleichstellt.

[* Diese Größen ("Parameter") umfassen 1.) den präsenten Preis des Basisobjekts, 2.) den Ausübungspreis, 3.) die Restlaufzeit, 4.) den Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Laufzeit und 5.) die Erträgnisse des Basisobjekts (z.B. die Dividenden) während der Laufdauer.]

Direktbankvergleich.de: Die besten Aktien- und Wertpapierdepots im Vergleich.

Investieren Sie jetzt in den Zukunftsmarkt geschlossene Solarfonds. 100% Rabatt bei Fondsvermittlung24.de.

Das Depot der TARGOBANK: Die Basis für ihre Börsenaktivitäten mit 0,- EUR Depotgebühren.

 Master-Studium bei der Wilhelm Büchner Hochschule: Wirtschaftsinformatik. Jetzt kostenlos Infos anfordern!

 

 

  Mercedes-Benz-Bank Festzins

       

Siehe auch:

 

Aufzählung

Was ist ein Aktienindex?

Aufzählung

Über den Beta-Faktor

Aufzählung

Was sind Futures?

Aufzählung

Vergleichsrechner für Wertpapierdepots

Aufzählung

Broker und Wertpapierhandel

 

"Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher,
und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit."
Albert Einstein (1879-1955), Physiker

 

Futures ] Optionen ] Hedging ] Märkte ] Themen ] Rat und Tipps ] Bücher ] Glossar ] Links ]

 

 

 

 

Diagramm

Home Feedback Impressum Suchen Content

 

Ihre E-Mail mit Fragen, Anregungen, Kommentaren oder Verbesserungsvorschlägen zu dieser Webseite an: info-d1@deifin.de 
Vervielfältigung nur mit Genehmigung des Verfassers. Bitte beachten Sie auch den Disclaimer und Urheberrechtshinweis
© 2003
2017 Bert H. Deiters
 Für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehme ich keine Gewähr.
Fehler berichtigen.
Stand: 02. Oktober 2017. Alle Rechte vorbehalten.