Grundzüge der Portfoliotheorie

•    Theorie der Wertpapiermischung: 1.) Beschreibung des Modells

Die auf Harry M. Markowitz zurückgehende Portfoliotheorie von März 1952* ("portfolio selection theory") stützt sich auf die Erkenntnis, dass Kapitalanleger durch eine geschickt angebrachte Mischung aus risikobehafteten Wertpapieren (herkömmlich aus Aktien bestehend) – also durch Bildung von Portefeuilles** – ein damit zu tragendes Risiko von Extremverlusten herabmindern können im Vergleich mit einzelnen, getrennt gehaltenen Finanzanlagen, ohne sich dabei in Hinsicht auf Renditeerwartungen mit weniger zufrieden geben zu müssen (Verteilung des Risikos, "Risikostreuung"). Die sachliche Kernfrage der Portfoliotheorie, zu deren Lösung sie die Anleitung zu geben trachtet, lautet demgemäß: Wie lässt sich ein solches, oft aus einer Vielheit zusammengesuchter Wertpapiergattungen zu bildende, optimale Portefeuille für einen vernünftig (rational) handelnden Geldanleger auf planvolle Weise ermitteln? – Mit der Fragebeantwortung soll zugleich eine auch im täglichen Wirtschaftsleben umsetzbare Handlungsempfehlung gegeben werden, die im Anblick des Risikos einer vernünftigen (objektiv situationsgerechten) Kapitalanlageplanung zur Richtschnur gelten kann.

[* Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, Nr.1, März 1952]

[** Portefeuille von frz. porter, »tragen« und feuille, »Blatt«, dt.: lederne Brieftasche, Geldmappe; heutzutage genießt der Name "Portfolio" allgemein den Vorzug. – Ein Portfolio lässt sich als gedankliche Einheit aller fassbaren Wertbestände (besonders Geld- und Kapitalanlagen) einer Wirtschaftsperson auffassen. In diesem Sinne handelt es sich auch dann nur um ein Portfolio, wenn ein und dieselbe Person oder Personenmehrheit (Gesellschaft, Familie) zwei oder mehr getrennt voneinander verwaltete Wertpapierdepots unterhält oder diese zumindest ihrer Disposition unterworfen sind.]

Da die Kapitalverfügungen der Marktteilnehmer eine Determinante ersten Ranges bilden für die Finanzierungsmöglichkeiten von Unternehmungen im Hinblick auf deren Investitionsentscheidungen, liegt es in der Natur der Sache, dass der Portfoliotheorie im Wirtschaftsleben auch noch in unsern Tagen in vielerlei Hinsichten eine bedeutungsvolle Stellung zukommt. Ohne Zweifel aber gehört sie damit nach wie vor zu den grundlegenden Ansätzen jeder betriebswirtschaftlichen Investitionsprogrammplanung und Finanzierungspolitik unter Beobachtung des Unsicherheitselementes. Überdies bildet sie den Stütz- und Ausgangspunkt für die jüngere Kapitalmarkttheorie, so zumal für ihr Grundmodell, das unter der Bezeichnung Capital Asset Pricing Model (CAPM) in akademischen Kreisen eine herausragende Bedeutung erlangt hat.

Der Leitgedanke des Verfahrens zur Portfolioauswahl, unter Wahrung der Chancen auf Vermögensgewinne Unsicherheiten durch eine gescheite Investitionsmischung zu verringern, lässt sich im Wesentlichen übertragen auch auf anderweitige riskobeladene wirtschaftliche Handlungsmöglichkeiten jenseits der Zusammenstellung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms: So können sich die Erkenntnisse der Portfoliotheorie nicht bloß bei der Geldanlage in Wertpapieren, sondern auch im Geschäftsleben von Industrieunternehmungen, beispielshalber bei der Auswahl des am meisten zu empfehlenden Produktions- und Absatzprogramms unter dem Walten unsicherer Einflussgrößen, durchaus als fruchtbar erweisen.

•    2.) Annahmen des Modells

Die Portfoliotheorie gehört nach moderner Lesart zu den sogenannten "quantitativen Methoden des Wertpapiermanagements". Unter den zahlreichen Möglichkeiten der Risikoerfassung greift die Portfoliotheorie auf ein Entscheidungsprinzip unter Unsicherheit zurück, das mit dem Namen μ/σ-Prinzip (Erwartungswert-Streuungsregel) in das akademische Schrifttum eingegangen ist. Erst unter der Annahme nämlich, dass das Risiko einer Investition sich quantitativ präzise ermitteln lässt und, wie weiter angenommen, in der Standardabweichung (σ) der Renditen um den Erwartungswert (μ) ihrer als bekannt vorausgesetzten Renditeverteilung zu messen sei, wird eine methodische Annäherung an einen Lösungsansatz in der Frage der optimalen Portefeuillebildung überhaupt ermöglicht.

Die Anwendung der Entscheidungsregel nach den beiden Zielgrößen Erwartungswert und Streuung (μ/σ-Prinzip) auf Portfolioentscheidungen erfordert mithin eine eindeutige Charakterisierung eines jeden zur Auswahl stehenden Wertpapiers durch zwei verschiedene Parameter:

–einen "Gewinnwert", wie eben den Erwartungswert der Rendite μ, und

–eine Maßzahl für das "Risiko", wie die statistische Standardabweichung σ (bzw. Varianz σ²) vom Erwartungswertμ es ist.

Investoren beurteilen demnach nicht die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Renditen eines Wertpapiers, sondern greifen stattdessen stellvertretend auf die Parameter μ und σ zurück, wodurch sich ihre Kalküle um ein Erkleckliches vereinfachen. Sollen dabei keine Informationen aus der ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsverteilung verloren gehen noch auch entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen verletzt werden, so stellt dies besondere Anforderungen an die Vorgehensweise: Investitionsentscheidungen sind im Rahmen der Portfoliotheorie durchweg auf der Grundlage einer quadratischen Bernoulli-Nutzenfunktion und/oder einer ganz bestimmten algebraischen Form der Verteilung (Zufallsgesetzmäßigkeit), wie sie z.B. normalverteilte Renditen hervorbringen, zu treffen. Darüber hinaus beruht das Grundmodell der Portfoliotheorie auf folgenden festen Annahmen:

1. Der Planungszeitraum T beträgt ohne weitere Abstufung genau eine Periode (T = 1), z.B. ein Kalenderjahr.

2. Es finden ausschließlich und ausdrücklich monetäre Handlungsfolgen samt den davon hergenommenen Nebenumständen Eingang in den Kalkül. Investoren verfügen über eine vorgegebene Anfangsausstattung an Verwertung suchenden Geldmitteln ("Budget"), die sie in einem einzigen Zeitpunkt t=0, dem Anfang der Planperiode, restlos auf den Erwerb von Wertpapieren auslegen. Die Zahl der zur Auswahl offen stehenden Wertpapiere sei eine fest vorgegebene Konstante. Der Wiederverkauf der in t = 0 erstandenen Papiere erfolgt zu einem einzigen späteren Zeitpunkt t = 1, dem Ende der Planperiode. Alle Anschaffungsausgaben für die betreffenden Wertpapiere sind mit Sicherheit bekannt; den aus den bezogenen Dividenden und Verkaufserlösen sich summierenden einmaligen Einnahmen zum Ende des Handlungsintervalls können indes nur subjektive Wahrscheinlichkeiten p zugeschlagen werden. Der mathematische Erwartungswert der Rendite μ jedes der riskobehafteten Wertpapiere steht damit von selbst im Range einer Zufallsvariablen.

3. Alle zur Disposition stehenden Wertpapiere sind ohne Unterschied bis in die kleinsten Quantitäten hinab beliebig teilbar. Der Kapitalanleger hat es sonach in seinem Belieben, falls erfordert, je den kleinsten Bruchteil eines Cent seiner flüssigen Mittel aus dem Anfangsstock wahlweise in eine der Aktien hineinzuverwenden. Nebenumstände, wie Transaktionskosten und Steuern es sind, bleiben bei dem allem ausgeklammert.

4. Dem Wahlverhalten der Investoren sei unterstellt, dass diese bei gleicher Renditeerwartung derjenigen Investitionsgelegenheit den Vorzug zusprechen werden, deren Risiko, gemessen wieder in der statistischen Standardabweichung σ, unter dem aller sonstigen zurückbleibt (Risikoaversion, Sicherheitspräferenz: Eine derartige Präsumtion ist ohne allen Zweifel stichhaltig; so mangelt es denn auch dem Wirtschaftsleben augenscheinlich nicht an Erfahrungsbelegen dafür, dass Risikoscheu* der vorherrschende Grad der Wagelust ist.) Überdies sind Geldanleger annahmegemäß rational, in dem Sinne, dass sie bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite weniger hohen erwarteten Renditen vorziehen ("Renditemaximierung als Endvermögensmaximierung").

[* Das Leitgedanke der Risikoscheu drückt sich darin aus, dass nur dann ein höheres wirtschaftliches Risiko übernommen wird, wenn diesem gegenüber ein angemessener Vorteil in Aussicht steht. Eine Investition wird dem angerufenen Prinzip nach mit vernünftigem Grunde darum nur dann durchgeführt werden, wenn abzusehen ist, dass die erwartete Rendite im Verhältnis zu ihrem Risiko überverhältnismäßig groß anschlägt. Mit Risikoscheu wird also mangelndem Wagemut oder zaghaftem Unternehmergeist durch nichts das Wort geredet!]

Die Rendite r eines Wertpapiers i berechnet sich nach der Formel:

r_i = (S₁ + D – S₀) / S_{0   ,}

mit: S₀ = Kurs des Wertpapiers im Erwerbszeitpunkt t = 0 (Einstandskurs), S₁ = Kurs des Wertpapiers im Zeitpunkt t = 1, und, D = Nettoertrag aus dem Papier, hauptsächlich in Gestalt von Dividenden, Bezugsrechten u.dgl., gewendet auf den Zeitpunkt t = 1.

Nehmen wir an, ein Investor habe sich einen ganz bestimmten Erwartungsanschlag von der Höhe der mutmaßlichen Renditen und Risiken von mehreren zur Wahl stehenden riskanten Wertpapieren gemacht (was unabdingbar die Kenntnis ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilung voraussetzt). Sein Plan sieht ferner vor, das ihm vorliegende verfügbare Anfangsbudget im Ganzen auf die in Betracht gezogenen Wertpapiere zu verausgaben. Es drängt sich hiernach die Frage auf: Wie soll ein risikoscheuer Investor, der seine Entscheidungen vollständig nach Maßgabe des μ/σ-Prinzips trifft, verfahren, um die vorzunehmende Diversifikation am füglichsten zu gestalten?

•    3.) Der Lösungsansatz

Die Lösung der gestellten Aufgabe erfolgt nach einem dreistufigen Planungsansatz: Auf der ersten Stufe wird die Menge der zulässigen Portefeuilles ermittelt ("feasible set"), daraus auf der nächsten Stufe alsdann die Teilmenge der für risikoaverse Geldanleger effizienten Portefeuilles ausgelesen, und schließlich wird in einem letzten Schritt aus dieser Teilmenge das für den einzelnen Anleger optimale Portefeuille bestimmt. Als zulässig kommen in Betracht allein so gefasste Portefeuilles, in denen der anzulegende Kapitalbetrag zur Gänze investiert ist.*

[* Sollte es bei der Aufteilung der finanziellen Mittel auf verschiedene Wertpapiergattungen zu negativen Portefeuilleanteilen bei einzelnen Papieren kommen ("Leerverkäufe", "short sales"), insofern das Modell diese Prämisse – entgegen dem ursprünglichen Modell Markowitzs – überhaupt einräumt, so lassen sich diese ökonomisch als risikobehaftete Finanzierungsmöglichkeiten ausdeuten.]

Die erwartete Rendite einer Aktie i, symbolisiert durch μ_i, berechnet sich nach bekannten statistischen Regeln der mathematischen Erwartung wie folgt:

μ_i = ∑ p_z r_iz  ,

mit ∑ : Summensymbol, wobei unter der Summe alle Zustände z des Möglichkeitsraums laufen sollen; p : Wahrscheinlichkeit jedes Zustandes z; und, i : Aktie i. Die erwartete Rendite einer Kapitalauslage stellt sich füglich dar als die Summe aller aus ihren möglichen Renditeausprägungen und deren beizuzählenden* Wahrscheinlichkeiten gebildeten Produkte. Sie entspricht damit dem mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Durchschnitt der einzelnen für möglich gehaltenen Renditeausprägungen ("Durchschnittsrendite").

[* Die beizuzählenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich erlangen entweder durch die persönliche Einschätzung der Zukunftsaussichten oder durch statistische Auswertung gewesener Renditen.]

Die Varianz der erwarteten Renditen eines Wertpapiers i, symbolisiert durch σ_i², ergibt sich grundlegenden statistischen Regeln gemäß aus der Formel:

σ_i² = ∑ p_z (r_iz – μ_i)²   . Die Standardabweichung σ_i kommt bekanntermaßen der Wurzel aus σ_i² gleich.

Die erwartete Rendite eines Portefeuilles μ_p entspricht der mit ihrem Anteil am Portefeuille gewichteten Summe der erwarteten Renditen der einzelnen in ihm enthaltenen Wertpapiere:

μ_p = ∑ x_i μ_i   , mit i = 1 .... n, wobei gilt: ∑ x_i = 1 bzw. = 100 %.

Die einzelnen Variablen seien folgendermaßen bezeichnet:

∑ : Summensymbol; i: Aktie i, wobei i = 1 ... n im n-Aktien-Fall; x_i: prozentualer Anteil des Ausgangsbudgets, der in Aktie i investiert sei (wobei die Summe aller Auslagen das Ausgangsbudget ganz erschöpft); und, μ_i: erwartete Rendite der Aktie i.

Für das Portefeuillerisiko, gemessen in der Portfolio-Standardabweichung σ_p, gilt die Aussage: Das Risiko eines Portefeuilles σ_p ist abhängig von den Varianzen der Renditen der einzelnen zu mischenden Wertpapiere (auch als Dispersion oder Streuung bezeichnet), ihren Kovarianzen (bzw. den Korrelationen; die Korrelationen von +1 und –1 scheiden indes für alle Wertpapiere von vornherein aus) und den Anteilen, mit denen die einzelnen Wertpapiere im Portefeuille vertreten sind:

σ_p = [∑ x_i² σ_i² + ∑ ∑ x_i x_j σ_ij]^½   .

Die Summierung erstreckt sich im n-Aktien-Fall auf alle i- und j-Werte, von i bzw. j = 1 .... n, wobei gilt: i ≠ j. Die Kovarianz der Renditen der Aktie i und der Aktie j sei hierbei durch σ_ij symbolisiert. Dieser Ausdruck lässt sich alternativ auch folgendermaßen hinschreiben:

σ_p = [∑ ∑ x_i x_j σ_ij]^½   , wobei die Summierung wieder über alle einbezogenen n Aktien läuft.

Wie man weiß, schwebt über jede Kapitalsanlage in Wertpapieren aus den verschiedensten Ursachen die Verlustgefahr. So wenig indessen sich ökonomische Unsicherheitsursachen zu allen Zeiten auf alle Wertpapiere vollkommen gleich und ebenmäßig auswirken, so wenig ist das Portefeuille-Risiko eine einfache Zusammenhäufung seiner Einzelrisiken. Vielmehr sind die Renditen der einzelnen ein Portefeuille zusammentragenden Aktien fast immer in weitem Maße stochastisch voneinander unabhängig. Entspräche das Risiko eines Portefeuilles schlechthin seinem Durchschnittsrisiko, so wäre eine Portefeuillebildung für risikoscheue Investoren eine Sache ohne jeden Reiz. Um den höchsten Wertstand zu erreichen, wären in einem solchen Fall die finanziellen Mittel im Ganzen in jene Aktie unterzubringen, deren erwartete Rendite im Verhältnis zu ihrem wahrgenommenen Risiko am größten angelegt ist.

Sind die Renditen der einzelnen Wertpapiere zum Mindesten zu einem gewissen Grad stochastisch voneinander unabhängig, so hat eine kluge Einteilung der Anlagemittel eine spürbare Herabminderung seines Gesamtrisikos zur naturgemäßen Folge, ohne notwendig auf die Renditeerwartung für das Portefeuille hinüberzuwirken. Wenn nur die im Portefeuille beschlossenen Aktien sich auf eine hinlänglich große Zahl von Unternehmungen zerstreuen, so vermögen nämlich die jeder Wertpapierart eigenen Preisschwankungen sich in der Menge gegenläufiger Preisbewegungen gegenseitig aufzuheben. Schlechte Gewinnaussichten werden durch gute wettgemacht, die Gefahr, dass alle Vermögenswerte reihum zugleich verlustbringend werden (bis hin zu einem Totalverlust), schwindet merklich. Ein durch eine gescheite Zusammenstellung der zur Wahl stehenden Wertpapiere zurechtgemachtes Portfolio trägt demnach ein geringeres bereinigtes Risiko an sich als es in der Summe seiner Einzelrisiken zum Ausdruck kommt. Durch Bildung von Portefeuilles nach Maßgabe des Modells der Portfoliotheorie bleibt ein damit zu tragendes Risiko, außer im Ausnahmefall vollkommen positiver Korrelation zwischen den Renditen der einzelnen Wertpapiere, in seiner Schlusswirkung stets hinter dem mit den Portefeuille-Anteilen gewogenen Mittel der Standardabweichungen der Einzeltitel zurück. Der voranstehende Befund wird im Schrifttum mit dem Namen Diversifikationseffekt belegt. Durch Aufnahme von negativ korrelierten Wertpapierarten in das Portfolio lässt sich dieser Effekt sogar noch um ein Weiteres verstärken. Die Aufgabe eines rational entscheidenden Investors, der durch Streuung von Anlagemitteln eine Risikominderung herbeizuführen sucht, wird unter der Vorherrschaft von Risikoaversion folglich dahin gehen, Mischungen herauszuklügeln, bei denen sich möglichst geringe Korrelationen zwischen den vertretenen Wertpapierarten einspielen – und nicht etwa dahin, eine Auslese von Werteffekten zusammenzubringen, deren Einzelrisiken allesamt möglichst klein anschlagen.

Um die geschilderten Zusammenhänge nun auch bildlich zu veranschaulichen, wird in einem μ/σ-Diagramm zunächst jedes der zulässigen Portefeuilles durch einen Punkt abgebildet, dessen Risikowert σ, wie es bei uns Gewohnheit ist, an der Abszisse und sein Gewinnwert μ an der Ordinate abgetragen wird. Auf einer Folgestufe wird die Gesamtheit der vorliegenden Portefeuilles aufgeteilt in effiziente und ineffiziente Portefeuilles.

Abbildung: Portfoliolinie, effiziente Portfolios (grünfarbiger Linienabschnitt) und ineffiziente Portfolios

Ein Portefeuille heißt effizient, wenn es kein anderes Portefeuille gibt, das entweder bei gleichem σ_p ein höheres μ_p oder bei gleichem μ_p ein geringeres σ_p aufweist. Aus leicht begreiflichen Gründen ist jedem effizienten Portefeuille damit auch jedes andere Portefeuille von zugleich höherem μ_p und niedrigerem σ_p fremd. Effizient ist ein Portefeuille demgemäß immer dann, wenn kein anderes zulässiges Portefeuille Bestand hat, das nach dem μ/σ-Prinzip eindeutig besser (dominant) ist, also nicht eines es übertrifft.

Man erhält die Menge an effizienten Portefeuilles, indem man der Reihe nach die das Risiko minimierenden Anteile der zu mischenden Wertpapiere am Gesamtportfolio für alle in Frage kommenden Renditeerwartungen ausrechnet. Hierzu sind mithilfe der Mathematik entsprechende Aufgaben der quadratischen Programmierung zu lösen*. Die durch Minimierung der Zielfunktion gefundenen Portefeuilles liegen dargestellt in einem μ/σ-Diagramm sämtlich auf einer streng mathematisch "guten" Kurve der Investitionsgelegenheiten: der sogenannten Effizienzlinie ("efficient frontier"), graphisch als Grenzrand zwischen dem Portfolio mit dem höchstmöglichen Ertrag an dem einen und dem Portfolio mit dem mindesten Risiko an dem anderen Ende auf einer Bogenlinie, wie in der obigen Abbildung grünfarbig hervorgehoben.

[* Um an dieser Stelle nicht in Formalismen zu rechentechnischen Fragen einer Optimumsbestimmung steckenzubleiben, sei für mathematische Einzelheiten sich begeisternde Leser auf die umfangreiche gelehrte Literatur verwiesen, wo solche förmlichen Modellierungen säuberlich und haarklein dargelegt sind.]

Die sachliche Bedeutung der Effizienzlinie liegt nun entschieden darin, dass beim Umschau halten nach dem optimalen Portefeuille alle anderweitigen (inferioren) Portefeuilles, die ihren Platz auf der Isoquante nicht haben, aus dem Gesichtskreis verschwinden. Sie lassen sich sogleich als erkennbar ungeeignet ausjäten, was die endgültige Auslese um ein Beträchtliches erleichtert.

Übertragen auf den lebendigen Anwendungsfall eines Geldanlegers, der darüber nachsinnt, auf welche Weise er sein Kapital auf die ihm offenstehenden Anlegemöglichkeiten verwenden soll, will dies sagen: Zwar trifft er, wie alle rational Entscheidende, seinen Anlageentschluss nach Anleitung des Modells der Portfolioauswahl; auf die einzelnen zur Auswahl offenstehenden Investitionsgelegenheiten wird er jedoch nur Summen von solcher Höhe auslegen, die in seiner persönlichen Einstellung zum Risiko ihr richtiges Maß finden. Durch diesen Hergang liegt zugleich die Endauswahl fest, je welche Aktien mit je welchem Gewicht im Portfolio vertreten sein werden.

Der in der Person der Kapitalanleger liegende Grad der Risikoscheu schlägt sich im μ/σ-Diagramm in einem unterschiedlichen Verlauf einer sog. Indifferenzkurvenschar nieder. Als Indifferenzkurve bezeichnet man bestimmte Verbindungen von μ und σ, die den gleichen Risiko-Nutzen stiften. Bei gegebener individueller Risikopräferenzfunktion erfährt das optimale Portefeuille unter den gesetzten Modellannahmen letztendlich vom Berührungspunkt der Indifferenzkurvenschar mit der Effizienzlinie seine eindeutige Bestimmung.

•    4.) Erweiterung des Modells um eine sichere Anlagemöglichkeit

Sowie sich eine zusätzliche Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit den Kapitalanlegern darbietet, die zu einem schon vorher feststehenden Satz ("pure rate") eine zuverlässige, also jeden unverhofften Geschäftsgewinn und Verlust ausschließende Kapitaldisposition für jede beliebige hineinverwendete Geldsumme zulässt ("safe asset"), ist die Bildung von Portefeuilles aus risikobehafteten Investitionsobjekten keine Sache des persönlichen Geschmacks mehr, falls das Wahlverhalten nicht gegen weithin anerkannte Rationalitätsannahmen verstoßen will. Das einzige Portefeuille, das unter den vorgedachten Modellverhältnissen nunmehr das Dasein dominanter Kapitalveranlagungen ausschließt, ist allein das Tangentialportefeuille. Es ist dies genau dasjenige Portfolio, das im μ/σ-Diagramm durch den Punkt auf der ursprünglichen Effizienzlinie riskanter Wertpapiere vertreten wird, der von der vom Sicherheitszins ausgehenden Tangente berührt wird. Kein anderweitiges Portefeuille vermag seinem Eigner unter den vorliegenden Umständen noch einen größeren Nutzen zu stiften. Alle nicht dominierten (und darum alle effizienten Misch-) Portefeuilles finden sich ohne Ausnahme auf dieser Tangente zusammen. Anders gewendet: Jede effiziente Mischung ist unter den hier vorausgesetzten Verhältnissen eine Kombination aus dem Tangentialportefeuille und der sicheren Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit. Der Aufbau und die Zusammensetzung des Gefahr tragenden Bestandteils, d.i. das in der effizienten Mischung beschlossene Portefeuille der ausschließlich mit Risiko behafteten Wertpapiere, bleibt stets in sich gleich; er ist insbesondere nicht bestimmt durch den Lagepunkt, den der Disponierende nach seinem eigenen Geschmacksurteil letzten Endes auf der Effizienzgeraden im μ/σ-Diagramm einzunehmen beschließt. Infolgedessen ist die Zusammensetzung des gewagten Teils in letzter Hand ebenfalls unbeeinflusst vom Grad der Risikoaversion und getrennt davon zu behandeln. Dieser Befund ist im Schrifttum bekannt unter dem Namen Tobin-Separation*. In einem nächsten Schritt wird der Investor, je nach Ausmaß seiner persönlichen Risikoscheu, die in das auf der Effizienzlinie gefundene Portefeuille investierten Mittel mit Anlagemitteln zum Sicherheitszinssatz kooperieren lassen. Einzig und allein jener Schlag von Kapitalbesitzer, der das Spiel der Kurse zur Gänze scheut, wird alle seine Mittel zum Sicherheitszinssatz anzubringen trachten. Entgegengesetztenfalls werden bloß besonders waghalsig Spekulierende geneigt sein, ihren Teil auch mit Verschuldung zum Sicherheitszinssatz zusammenzubringen.

Der hier vorgestellte modelltheoretische Ansatz der Geldanlageplanung trägt in wissenschaftlichen Texten den Namen "Separationstheorem" deswegen, weil sich das Entscheidungsproblem zur optimalen Wertpapiermischung dem Grundgedanken nach in zwei Abschnitte trennen lässt:

1. Die Bestimmung der Zusammensetzung des optimalen Portefeuilles, welches unabhängig vom Ausmaß der Risikoaversion des Investors feststeht, und

2. die Kombination dieses Portefeuilles mit zuverlässiger Anlage (oder Verschuldung) mit Berücksichtigung der persönlichen Risikoeinstellung.

[* James Tobin wurde 1981 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ("Wirtschaftspreis") ausgezeichnet.]

•    5.) Kritisch Würdigung der Portfoliotheorie

Die normative Portfoliotheorie liefert in konsistenter Weise eine Lösung für die Fragestellung, auf welche Weise und in welchem Maß sich risikoscheue Investoren, die nach Erwartungswert und Streuung entscheiden (d.h. sich am μ/σ-Prinzip anlehnen), vernünftig verhalten können. Die Theorie macht deutlich, dass und unter welchen Umständen sich durch eine wohl erwogene Mischung von Investitionsobjekten Risiken vernichten lassen. Nebst der oben angedeuteten Schwierigkeit aus entscheidungstheoretischer Sicht schlingen sich um die Anwendung des μ/σ-Prinzips auf wahrhaftige Entscheidungssachlagen gewisse Verwicklungen, welche die Nutzanwendung der Portfoliotheorie im Tatsächlichen eng zu begrenzen geeignet sind. Aus folgenden Gründen:

1. Eine gewisse Erschwerung im lebendigen Umgang mit dem Modell ist auf die erhöhte Informationsbeanspruchung zurückzuführen: Für eine widerspruchsfreie Berechnung der Portefeuilleanteile bedarf es von sämtlichen der darin einbezogenen Anlagemöglichkeiten nicht nur der einzelnen Erwartungswerte und Standardabweichungen ihrer künftigen Zahlungen. Auch alle ihre Kovarianzen sind erforderlich; bei n Objekten gibt es allein n × (n – 1) / 2 Kovarianzen. Mag es im Falle von Wertpapieren durchaus noch angehen, die notwendigen Daten nach Maßgabe von statistischen Berechnungen abzuschätzen, so stößt ihre Ermittlung bei Sachinvestitionen auf schier unüberwindbare Hindernisse.*

[* Eine gewisse Abhilfe in der praktischen Umsetzung schafft hierbei die Verwendung des Indexmodells Sharps.]

2. Der Planungszeitraum deckt lediglich eine Periode ab. Investitionen wirken sich aber häufig und gerne durch mehrere Perioden hindurch aus. Die Erweiterung des Modells auf mehr als zwei Zahlungszeitpunkte würde aber eine außerordentliche Verwicklung bedeuten und außerdem zu einer Erhöhung des ohnehin schon erheblichen Datenbedarfs führen.

3. Das μ/σ-Prinzip setzt eine quadratische Risikonutzenfunktion der Anleger und/oder eine bestimmte Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B. eine Normalverteilung der Renditen sämtlicher Wertpapiere voraus. Empirische Untersuchungen deuten hingegen bei risikotragenden Wertpapieren eher hin auf Verteilungen mit gegen unendlich strebender Varianz bei höheren Dichten, zumal für mittlere als auch für sehr hohe und sehr niedrige Renditen. Überdies geben quadratische Nutzenfunktionen in der Empirie zu einigen Bedenken Anlass; quadratische Nutzenfunktionen haben nämlich die erfahrungswissenschaftlich höchst zweifelhafte Eigenschaft zunehmender Risikoaversion bei steigenden Renditeerwartungen.

4. Das Separationstheorem wird im Falle der Sachinvestitionsplanung kaum wirkliche Geltung beanspruchen können, weil hierzu beliebige Teilbarkeit in einem noch geringeren Maße vorausgesetzt werden kann als im Wertpapierfall.

Auch wenn das Modell der Portfolioauswahl in seiner Grundform angesichts der überaus engen Anwendungsvoraussetzungen auf den ersten Blick nicht leicht zur praktischen Durchführbarkeit angetan sein mag, so führt es doch die wesentlichen Zusammenhänge, die bei der Wertpapierauswahl unter Unsicherheit notwendig zu erwägen sind, mit anschaulicher Deutlichkeit vor Augen: So wird das Wesen und die Tragweite der in den Kovarianzen zum Ausdruck kommenden stochastischen Abhängigkeiten (Interdependenzen) zwischen den Investitionsobjekten herausgestellt und klar ersichtlich. Ferner machen die Modellergebnisse darauf aufmerksam, dass das von der Beurteilung von Einzelprojekten bekannte, in der Standardabweichung gemessene Gesamtrisiko unbeachtlich und unmaßgeblich ist. Es wäre schließlich ein Leichtes, durch eine effiziente Mischung mit anderen Objekten sein Portfolio von einem stattlichen Quantum dieses Risikos freizuhalten. Der Effekt schlägt hinüber namentlich auf das "unsystematische Risiko", d.i das den einzelnen Aktien inhärente branchen- resp. unternehmensspezifische Risiko, das im Übrigen bei voller Ausschließlichkeit in der Betrachtung in aller Regel überwiegt.

Von Wesenheit ist dagegen das verbleibende Restrisiko: das sogenannte "systematische Risiko", das auch oft als gesamtwirtschaftliches Risiko oder Markt-Risiko bezeichnet wird, und dem eine besondere Aufmerksamkeit und Beachtung allein deshalb zukommen muss, weil es sich in nichts durch Diversifikation austilgen lässt (aber sich wohl durch Hedging gezielt kompensatorisch steuern lässt). Nur dieser eine Teil des Gesamtrisikos eines untersuchten Investitionsobjekts liefert den maßgeblichen Beitrag zum Risiko des gesamten Investitionsprogramms. Das systematische Risiko wird quantitativ erfasst durch die Kovarianz bzw. das Verhältnis von Kovarianz zur Varianz des Gesamtprogramms. Das letztere (relativierte) Risikomaß heißt Beta (β) und spielt in der neueren Kapitalmarktgleichgewichts- und Finanzierungstheorie, insbesondere im Modell der Wertpapierlinie (CAPM), im Marktmodell (MM) und der als deren Erweiterung angesehenen Arbitrage Pricing Theory (APT) eine herausragende Rolle.

Das CAPM, das bekanntlich auf der Portfoliotheorie fußt, hat es sich zum Ziel gestellt, im Angesicht der waltenden Ungewissheit auf den Kapitalmärkten die für Wertpapiere bestehenden Konkurrenzgleichgewichtspreise herzuleiten. Nach dem CAPM ist die erwartete Rendite einer Aktie in einem supponierten Kapitalmarktgleichgewicht eine lineare Funktion der durch ihr β gemessenen Risikomenge. Wie oben schon ausgeführt, ist der β-Faktor eines Wertpapiers für sich definiert als der Quotient aus der Kovarianz des betreffenden Wertpapiers zu der Varianz des Marktportefeuilles. Vereinfacht behauptet das CAPM: Der Erwartungswert der Rendite einer risikobehafteten Anlagemöglichkeit (z.B. einer Aktie) wird im Marktgleichgewicht gebildet von der Summe aus dem risikolosen Geldmarktzinssatz und einer Risikoprämie. Die Risikoprämie ist das Produkt aus dem Marktpreis für das Risiko (= Differenz zwischen Erwartungswert der Rendite des Markt-Portfolios und der sicheren Anlagemöglichkeit) und der marktrelevanten Risikomenge der risikobehafteten Anlagemöglichkeit β. Die tätige Anwendung von β im Rahmen der "asset allocation" setzt schlechterdings voraus, dass auch das μ/σ–Prinzip in pragmatischer Weise Verwendung findet. Hält man aber alles nach dem vorstehend Gesagten zusammen, so ist das Eine eine völlig ausgemachte Sache: Die Vielzahl an argen Modellvereinfachungen entleert weithin den Anspruch des CAPM, es könne die Kurse im Börsenleben wirklichkeitsnah erklären.

Als gesichertes Schlussergebnis der vorangegangenen Überlegungen bleibt festzuhalten, dass die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einzelner Kapitalanlagen nicht getrennt von dem Aufbau und der Zusammensetzung der übrigen risikotragenden Anlagemöglichkeiten getroffen werden kann. Vernünftige Investitions- und Finanzierungsentscheidungen wird der Disponierende auf der Grundlage des μ/σ-Prinzips folgerichtig immer simultan zu treffen haben. Als das für einzelne Anlageobjekte wirklich beachtenswerte Risikomaß hat sich im Rahmen eines vollständig diversifizierten Portefeuilles allein und ausschließlich das Kovarianzrisiko herausgestellt.

Harry M. Markowitz, ein sehr erlauchter amerikanischer Wirtschaftswissenschafter, *Chicago 24. 08. 1927; Professor an der City University of New York gebührt das rühmliche Verdienst des geistigen Vaters und Grundlegers der Portfolio-Selection Theory; Harry M. Markowitz erhielt im Jahre 1990 zusammen mit Merton Howard Miller und William F. Sharpe für seine bahnbrechenden Forschungen zur betrieblichen Finanzmarkt- und Finanzierungstheorie den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ("Preis für Wirtschaftswissenschaften der Schwedischen Reichsbank im Gedenken an Alfred Nobel", "Nobel Memorial Prize in Economic Sciences", kurz "Wirtschaftspreis").