Einiges zur Wertfestsetzung von Optionen

Im Folgenden seien Optionen einer Marktwertbetrachtung unterzogen. Der einer Option beigelegte Preis (= Optionsprämie) schwankt während ihrer Laufzeit für gewöhnlich Zug um Zug mit dem Wertanschlag ihres unterliegenden Gegenstandes ("underlying price"), gleichläufig bei einem Call, gegenläufig beim Put, wobei dieser wie jener sich nach bekannten Grundsätzen durch Angebot und Nachfrage am betreffenden Marktplatz bestimmt. Es erscheint dies insoweit unmittelbar einleuchtend, als der bezügliche Kassa- oder Terminmarkt wie auch der zugehörige Optionsmarkt nach außen hin für sich eigenständige Marktabschnitte bilden, die unter dem Einfluss der ihnen eigentümlichen Kursbestimmungsgrößen stets eigene, aus sich zu betrachtende Preisverhältnisse an den Tag legen. Gleichwohl stehen beide Zweige nicht getrennt und vereinzelt da, sondern sind durch gewisse übergreifende Kräfte kausaler Natur, den sogenannten Arbitragebeziehungen, aufs innigste miteinander verflochten. Die Höhe der Prämie einer Option in ihrer Daseinsform eines derivativen Instruments hängt jedoch nicht nur von der Art und dem Preis ihres Underlyings allein ab, sondern noch von weiteren Einflussgrößen, wie Schwankungsstärke (Volatilität) des Marktpreises, ihrer Laufzeit, der Höhe des Zinses, um nur einige der wichtigsten zu nennen. Mittelbar hängt die Höhe einer Optionsprämie aber auch von den Erwartungen der Marktteilnehmer ab, in welcher Weise und in welcher Richtung sich der Marktpreis des zugrunde liegenden Handelsgegenstandes ("underlying asset") in Zukunft bewegen wird ("forward price") und somit letztlich von der Erwartung, ob und wie weit die Option sich zur Fälligkeit "im Geld" (ITM) befindet. Näheres darüber s.u.

Ein vorliegender Marktwert ("market value"; Verkehrswert) einer untersuchten Option zerfällt genauer besehen zu jedem gegebenen Betrachtungszeitpunkt in zwei gesonderte Teile: falls vorhanden 1.) in den inneren Wert ("intrinsic value", "parity value", "exercise value") und 2.) in den Zeitwert (Zeitprämie, "time value", "time (value) premium", "speculative value", "extrinsic value").* Der innere Wert einer Kaufoption etwa bemisst sich nach dem Wert, der dem Optionsinhaber nach ihrer Auslösung rein verbleibt, will sagen die Summe Geldes, die er behielte, wenn er seine Option zum Ausübungspreis jetzt ausübte und die so erstandene Position in Wertpapieren, Waren usw. sogleich wieder im Markt schließen wollte. Der innere Wert einer Verkaufsoption bemisst sich nach dem Wert, der dem Optionsinhaber nach ihrer Auslösung rein verbleibt, also der Summe Geldes, die er behielte, wenn er seine Option zum Ausübungspreis jetzt ausübte und mit dem erhaltenen Gegenwert für den Verkauf die ursprüngliche Position in Wertpapieren, Waren usw. sogleich wieder im Markt aufbauen wollte. Dies setzt bei vorzeitiger Geltendmachung des Optionsrechts voraus, dass eine Ausübung innerhalb der Verfallfrist überhaupt möglich und für den Halter aus finanzieller Sicht durchaus vorteilhaft ist. Anders gewendet, was aber auf eins herauskommt: Der innere Wert einer Option kommt stets und ausnahmslos dem Wert gleich, welcher dem Inhaber zufiele, wenn man die Option nach ihrem Verkehrswert aufrechnete und sie im gleichen Augenblick verfiele. Der innere Wert ist folglich durchaus der Mindestwert, den eine Option annehmen kann ("parity"). Besitzt die betrachtete Option unmittelbar vor Ablauf der Verfallfrist einen inneren Wert, so wird sie im regelmäßigen Verlauf an der Börse ausgeübt werden, um ihn am Ende für sich geltend zu machen.

[* Anmerkung: Der innere Wert und der Zeitwert einer Option werden an den Börsenplätzen niemals getrennt für sich allein angegeben. Der angeführte Börsenpreis einer Option benennt stets nichts weiter als ihre Prämie, gerichtet auf je eine Einheit des einzelnen Kontrakts.]

Ist ein innerer Wert nicht gegenwärtig, so rechnet sich eine Auslösung der Option für ihren Inhaber nicht. Da er sie nicht ausüben muss, ist ihr Wert allenfalls gleich null, keinesfalls geringer (nicht negativ), so dass sie ihm Schulden eintrüge. Insofern der Halter der Option den Gegenwert eines inneren Wertes, solange und soweit durch die Marktlage positiv festgesetzt, in bar zu einzustreichen beabsichtigt, wird er sie ausüben und mit der Auslösung zu gleicher Zeit das Basisobjekt der Option im Effektivmarkt gegen Kassa zum herrschenden Marktpreis wieder umsetzen oder, soweit vorgesehen, ersatzweise sich den Unterschied durch Barabgeltung ("cash settlement") verrechnen lassen. Getreu dem auf der vorigen Seite gegebenen Beispiel zu 1 konnte der Inhaber durch Ausübung seiner "American-style"-Kaufoption eine Gesamtheit von hundert Aktien zum Basispreis von 100€ je Stück erstehen und diese in gleichem Zuge zu einem Kurswert von 115€ auf dem Kassamarkt wieder losschlagen. Der Unterschied im Preise von 15€ liefert den inneren Wert des Calls, gerechnet auf je eine Aktie. Ihr am Markt zu lösender Geldwert ("payoff", "intrinsic value") ist hiernach ein positiver. Der innere Wert einer Option kommt daher stets ihrem Ausübungswert ("exercise value") gleich. Arbitragegründe stellen sicher, dass der innere Wert zugleich der kleinstmögliche (positive) Geldwert ist, den eine amerikanische Option annehmen kann. Bei europäischen Optionen hingegen ist das allerdings nicht durchweg gewährleistet, weil in diesem Falle eine Arbitrage bereits während der Laufdauer nicht gangbar ist. Auffallend ist ferner, dass ein vorliegender innerer Wert einer Option unabhängig von ihrer Laufzeit besteht.

Demgemäß lässt sich die folgende Regel aufstellen: Der innere Wert einer gehaltenen Kaufoption (Call) entspricht, falls größer als null, dem Unterschied "Preis des Underlying minus Basispreis", sonst null. Der innere Wert einer Verkaufsoption (Put) entspricht, falls größer als null, der Differenz "Basispreis minus Preis des Underlying", sonst null. Man sagt von einer Option, die positiven inneren Wert hat, sie liegt "im Geld" ("in the money" ITM). Eingehender dargelegt: Der innere Wert einer Option beläuft sich völlig genau auf den Betrag, mit dem sie im Geld liegt. Wie leicht einzusehen, wird niemand willens sein, wenn er nicht töricht oder ganz uneigennützig ist, eine erkaufte Option, die "im Geld" liegt, unter ihrem inneren Wert wieder herzugeben. Desgleichen wird eine erstandene und im Besitzstand gehaltene Option ("long"), wie erwähnt, nirgends und niemals einen verlustbringenden (d.i. negativen) Marktwert annehmen; denn niemand ist dazu verbunden noch würde sich irgendeiner aus freien Stücken dazu verstehen, seine Option auszuüben, falls ihm das einen sofortigen Verlust bescherte, den er sonst nicht hätte. Genau darin liegt ja der Wesenskern eines jeden Optionsgeschäfts, nämlich in dem Recht zu wählen. Kurzum, der innere Wert einer jeden bestehenden Option kann äußerstenfalls auf null hinab sinken, die Option damit ihren Ausübungswert vollständig einbüßen.

Darüber hinaus gibt es Optionen, die zwar einen Marktwert, aber keinen inneren Wert haben. Solcherlei Optionen besitzen allein einen Zeitwert und werden mit dem Sprachkürzel "aus dem Geld" ("out of the money" OTM) liegend umschrieben. Eine Kaufoption (Call) befindet sich "aus dem Geld", wenn und insoweit der Marktpreis ihres Underlyings niedriger steht als ihr "exercise price". Eine Verkaufsoption (Put) wieder liegt "aus dem Geld", wenn und insoweit ihr Basispreis unter dem Marktpreis ihres Underlyings zurückbleibt. Eine Option, die "aus dem Geld" ist, besitzt keinen inneren Wert. Allenfalls ist ihr ein Zeitwert beschieden. Liegt eine Option von was immer für einer Art endlich weder aus noch im Geld, stehen also ihr Basispreis und der Marktpreis des unterliegenden Gutes auf ein und derselben Höhe, allenfalls fast genau auf einer Höhe, so befindet sie sich "am Geld" ("at the money" ATM, "pari"). Sie ist damit gleichsam auf der Schneide zwischen "im Geld" und "aus dem Geld". Da, wo der Marktpreis des Grundgegenstandes ganz in der Nähe des Ausübungspreises der Option liegt, sagt man gelegentlich, sie notiere "near the money". Durch eine genügende Bewegung des Marktpreises des zugrunde liegenden Gutes in seiner Stellung zum "strike price" kann die Einstufung, ob "im", "am" oder "aus dem Geld" im Zeitlauf der Optionsfrist umschlagen, zuweilen ganz unvermittelt mit einem Male oder gar nicht selten auch in buntem Wechsel Richtung und Lage ändern. Der Grundgedanke, der das Verhältnis von Ausübungspreis und herrschendem Marktpreis des Basiswertes einer Option einander in näherem Zusammenhang stellt, wird nach dem Muster der englisch-amerikanischen Lehre allgemein mit dem Ausdruck "moneyness" benannt (dt. soviel wie "Geldnähe"). Er gilt uneingeschränkt für den Käufer der bezüglichen Option ebenso wie für ihren Verkäufer (Schreiber).

Das soeben Gesagte auf den kürzesten Ausdruck gebracht ergibt:

Marktwert einer Option (Prämie) = innerer Wert + Zeitwert    .

Bezeichnet X den Ausübungspreis ("exercise price") einer Option und S_t den zum Zeitpunkt t herrschenden Marktpreis ihres zugrundeliegenden Gegenstandes, so erhält man, in abkürzender förmlicher Schreibweise, den in folgender tabellarischen Übersicht dargestellten Zusammenhang:

[* Anmerkung: Eine Option "im Geld" ist nicht notwendig gleichbedeutend mit einem erreichten Gewinn. Erst wenn der Betrag, mit dem die Option im Geld liegt, die Höhe der anfänglich bezahlten Prämie plus entgangener Zinsen plus Spesen übersteigt, entsteht bei der Ausübung Gewinn.]

Da nun, wie eingangs geschildert, der Wert einer Option sich aus dem innerem Wert und dem Zeitwert zusammensetzt, so ergibt sich daraus folgender logisch zwingender Schluss: Eine Option besitzt einen Zeitwert, der dem Unterschied zwischen der Optionsprämie und dem inneren Wert der Option gleichkommt; oder in förmlicher Schreibweise ausgedrückt: Zeitwert = Marktwert – innerer Wert. Der Zeitwert einer Option ist Ausdruck einer gewissen Aussicht auf Gewinnerzielung aufgrund einer in zukünftiger Zeitfolge, d.i. während ihrer Laufdauer, sich einstellender günstigen Kursveränderung im Basisgegenstand.

Optionen sind taggenau befristete Finanzgeschäfte mit der Eigenschaft, dass in Anbetracht einer verbleibenden Laufzeit und der damit verbundenen Vorteilsgelegenheit ihnen ein gewisser Wert zuteil wird. Das Ausmaß des Zeitwertes einer Option wird jedoch bei weitem nicht allein von ihrer Restlaufzeit bestimmt, insofern ist der Name Zeitwert irreführend. Tatsächlich üben auf den Zeitwert einer Option mindestens zwei scharf auseinanderzuhaltende Einflusskräfte Wirkung aus: einesteils seht ein solcher zwar sehr wohl unter dem Einfluss von der verbleibenden Laufzeit der Option ("residual time to maturity"), andernteils aber, und das gar nicht unwesentlich, wird er durch die voraussichtliche Volatilität im Markt ihres Bezugsobjekts verursacht, also desjenigen Preis-Schwankungsvermögens während der Frist bis zu ihrem Verfall, das ihrem Basisgegenstand vom Markt implizite beigelegt wird. Wie nach feststehender Erfahrung die Praxis der Optionsgeschäfte erweist, führt eine erhöhte (implizite) Volatilität auf dem fraglichen Markt, unter sonst gleichen Umständen, zu einem sich hebenden Zeitwert der Option; und umgekehrt. Dieser Befund findet seine Grundlage in dem unmittelbar einleuchtenden Satz: Der Wert einer Option erhöht sich in dem Maße, wie die Wahrscheinlichkeit dafür emporsteigt, dass diese binnen der verbleibenden Laufzeit ins Geld rückt bzw. ihren bereits vorliegenden inneren Wert mehr und mehr auszubauen bestrebt ist ("contingent claim"). Zwar hängt grundsätzlich an jeder Option, während sie andauert, durchweg die Gefahr einer Werteinbuße bis hin zum gänzlichen Verlust der ausgelegten Prämie; doch wird in Ansehung des asymmetrischen Gewinn-/Verlust-Profils von Optionen ein solches Vorkommnis aus Sicht des Optionshalters, der auf Gewinnerzielung setzt, nach seiner persönlichen Wertschätzung regelmäßig hinter dem Vorteil einer in Aussicht stehenden über alles Maß hinausgehenden Gewinnspanne zurückbleiben, was das Dasein eines Zeitwertes überhaupt erst herbeiführt.

Alles Übrige als unverändert vorausgesetzt, erreicht eine Option ihren entsprechend höchsten Zeitwert – je nach gegebener Marktlage – im Regelfall dann, wenn sie "am Geld" ("at the money") liegt. Eine Option, die entweder punktgenau am oder aus dem Geld liegt, leitet ihren Wert demzufolge, wie leicht zu durchblicken, allein aus ihrem Zeitwert her. Ganz gleich, in welcher Richtung: Je weiter der Kurs des Underlying sich vom Ausübungspreis der Option entfernt, desto mehr vermindert sich ihr Zeitwert. Eine tief im Geld liegende Option besitzt fast keinen Zeitwert, hingegen nur inneren Wert. Eine weit aus dem Geld befindliche Option besitzt, wenn überhaupt, wenig oder kaum einen Zeitwert, noch einen inneren Wert. Eine Option kann aus naheliegenden Gründen nur vor Erreichen ihres Verfalltermins einen Zeitwert gewähren. Mit zunehmendem Zeitverfluss und mit Herannahen des Verfalltermins an die Gegenwart wird der Zeitwert der Option sehr bald und, sofern am Geld, am Ende gar immer schneller (d.i. in der Zeit überverhältnismäßig, größtes Theta) abschmelzen ("time value decay", "wasting asset"). Er wird bei Eintritt des Verfalls sich mit innerer Notwendigkeit allemal auf null stellen. Ein etwaiger Endwert kommt sodann allein dem inneren Wert der Option gleich ("parity"), der sich im Falle einer Kaufoption zum Ausübungszeitpunkt förmlich herleitet aus: max(S–X, 0), im Falle eines Verkaufoption aus: max(X–S,0).

Es erhebt sich nach dem Vorangegangenen nun die Frage, wovon der Geldwert einer Option während ihrer Laufzeit im Einzelnen abhängt? – Aus analytischer Sicht offenbar neben der Form der Option ("option type") wenigstens von sechs zählbaren Gestaltungsgrößen* (Preisdeterminanten, "risk factors"): 1.) vom vorliegenden Preis ihres zugrunde liegenden Gegenstandes, 2.) vom Ausübungspreis, 3.) von der verbleibenden Laufzeit, 4.) vom herrschenden Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Restlaufzeit des Zeitpunktes der Wertbeimessung, 5.) von den Erträgnissen des Basistitels (bei Aktienoptionen den Dividenden), die während der Laufdauer anfallen, sowie 6.) von der mutmaßlichen zukünftigen Breite und Kraft der Preisschwankungen des Basisgegenstandes, d.i. die voraussichtliche, vom Markt erwartete Volatilität desselben. Bis auf den allerletzten, die Volatilität, sind sämtliche der aufgeführten Parameter bestimmt gegebene, unmittelbar ablesbare Erscheinungstatsachen, die vereint mit der in Erwartung stehenden Volatilität Eingang in die modellgestützte Optionspreiskalkulation finden. So baut auf alle diese Größen das weithin bekannte Black-Scholes-Merton-Modell auf, ein Optionswertmodell, das zur Bestimmung theoretisch verbürgter Optionspreise unter besonderen Voraussetzungen, zumal dem Erfordernis der Arbitragefreiheit, erschaffen wurde und das getragen wird von den Arbeiten dreier hervorragender Gelehrter: Fischer Black und Myron Samuel Scholes, 1973, wie ferner von einer gesonderten Arbeit Robert Cox Mertons'.

[* Im tätigen Umgang mit Optionen und außerhalb der engen Grenzen der Optionswertmodelle kommen allerdings noch weitere Preiseinflussgrößen hinzu, deren Berechnung sich entweder gewisse Schwierigkeiten entgegenstellen, oder diese in ihrer Einwirkung auf den Preisbildungsfortgang nicht leicht zu durchblicken verstanden werden. Neben Transaktionskosten und Steuern gibt es etwa noch Margin-Erfordernisse für Short-Positionen, aber auch Erwartungen der Marktteilnehmer über die zukünftige Marktentwicklung ("sentiment"), unterschiedliche Risikoneigungen sowie Marktunvollkommenheiten werden Wirkung auf die Preisbildung von Optionen üben.]

Die bestimmt gegebenen Elemente, zu denen auch der beobachtete, hier als sachgerecht und angemessen angenommene Optionspreis zu rechnen ist, in die Modellformel eingesetzt und iterativ nach der einzig unbekannten Größe, dem Ziffernansatz für die erwartete Volatilität, aufgelöst, ergibt eine Schätzung für die voraussichtlich sich einstellende Volatilität, die mit dem Namen "Impliziten Volatilität" ("implied volatility", "implicit volatility") belegt ist, auf welche die Optionspreisformel in der Anwendung vor allem abstellt. Die Implizite Volatilität hat sich ihren Namen mithin dadurch erworben, dass der dem Marktgeschehen abgelesene Optionspreis Ausmaß und Grad der in die Optionsfrist fallenden Preisschwankungen des zugrunde liegenden Gegenstandes gleichsam enthält ("impliziert"), wie sie ihm die Optionswertformel des Black-Scholes-Merton-Modells (oder auch die des Binominalmodells, hauptsächlich bei amerikanischen Optionen) beilegt und zum Ausdruck kommt. Vorbedingung für die Richtigkeit ist allerdings, dass der Kursverlauf des zugrunde liegenden Titels einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt, die Volatilität sich im Ablaufe der Optionsfrist nicht verändert und der Markt im Sinne der Theorie vollkommen und vollständig ist und dass außer den gegebenen Größen keine sonstigen Einflüsse auf den Preisverlauf wirksam werden.

Doch nicht nur über die mutmaßlich sich einstellende Volatilität und das damit verbundene Kursschwankungsrisiko (Vega, Kappa, Lambda) gibt die Optionspreisformel einigen Aufschluss. Auch bringt sie nebenher weitere viel beobachtete Risikomaße hervor: so vor allem die für jeden gut beschlagenen Optionshändler höchst bedeutsamen Maße Delta, Gamma, Theta und Rho, die so benannten "Griechen" ("Greek letters", "The Greeks"). Die Griechen geben Auskunft darüber, wie empfindlich der Optionspreis oder eine Optionskennzahl selbst reinrechnerisch auf kleinste Veränderungen einer der oben gegebenen Bestimmungsgrößen (teils auch einer Optionskennzahl selbst) anspricht und um wie viel Erstere sich dadurch verändert, wenn alle übrigen Einflussgrößen, die in der Optionspreisformel enthalten sind, gleich bleiben. Jeder einzelne der griechischen Buchstaben steht stellvertretend für eine ganz bestimmte Ausprägung des mit einem Optionsgeschäft verknüpften Risikos. – Augenfällig ist bei alledem, dass die in der Finanzwirtschaft sonst höchst bedeutenden Vorteilsmaße der für den Bezugsgegenstand erwarteten Rendite, wie auch der erwartete Endwert der Option selbst, sowie die Risikovorlieben der Optionshändler im Rahmen der modellmäßigen Optionspreisberechnung unter vorausgesetzter Arbitragefreiheit überhaupt nichts auf sich haben (präferenzfreie Optionsbewertungstheorie, Gleichgewichtsmodell).