DeiFin – Die Finanzseite

Home Feedback Inhalt Impressum Suchen Content

     Der Beta-Faktor

Futures
Optionen
Hedging
Märkte
Themen
Rat und Tipps
Bücher
Glossar
Links

 

 

   Der Beta-Faktor (β) in Theorie und Anlagepraxis

 

Aufzählung

Zur Berechnung des Beta-Faktors (β) von Aktien

Um sich den Beta-Faktor im Zuge der Unterbringung von Kapital in eine Vorteilsgelegenheit (Investition) in sachgerechter Weise nutzbar zu machen, ist er zuallererst aus seinem engen akademischen Modellbezug zu lösen. Der hier vorgestellte methodische Ansatz einer Lösungsidee schlägt zu diesem Ende folgendes Verfahren ein: Im ersten Schritt geht es um eine möglichst präzise Bestimmung eines wirklichkeitstreuen Schätzwertes für den historischen Beta-Faktor (β) des in Rede stehenden Wertpapiers. Das zu seiner statistisch-rechnerischen Erfassung notwendige Datenmaterial wird hierbei von Kursänderungsraten abgelesen, die ihrerseits gewohnheitsmäßig in Gestalt erfahrener (empirischer) Renditegrößen gefasst werden. Solche lassen sich leicht aus einer vorliegenden Aufeinanderfolge von roh erfassten Kursausprägungen einer gewesenen Zeit (Ex-post-Kurse, Kurshistorien) zusammentragen. Da nun vernünftige Anlageentscheidungen im Leben gescheiterweise immer mit Bedacht auf die Zukunft zu treffen sind, die Zukunft indes sich bekanntermaßen einer exakten Vorausberechnung beharrlich entzieht, ist auf der nächsten Stufe eine zuverlässige und gehaltvolle Schätzung (Antizipation) aller derjenigen Größen vorzunehmen, die in Wirklichkeit auf die Investitionshandlung hinüberwirken. Um solcher Erwägungen willen ist in einem Folgeschritt der durch eine statistische Zeitreihenanalyse gewonnene ("historische") Beta-Faktor unter Anwendung verfeinerter Extrapolationsmethoden schlüssig in die Zukunft auszuformen. Eine auf diesem Wege aufgestellte logisch nachvollziehbare Prognose gibt fortan die Grundlage ab für vernünftige Handlungsempfehlungen unter Verhältnissen unsicherheitsbeladener Investitionsentscheidungen. Um nicht ganz im Abstrakten steckenzubleiben, sei nun der eben umschriebene Untersuchungsgang anhand eines sprechenden Beispiels des Genaueren erläutert:

Ein Beispiel zur Berechnung des Beta-Faktors aus historischen Kursen:

Es sei für eine betrachtete Aktie der Beta-Faktor auszurechnen. Der Berechnung zugrunde gelegt seien die Kurszahlen der gewesenen letzten 12 Monate ("historisches" Beta). – Zu diesem Zweck richten wir vorbereitend eine Arbeitstabelle nach dem nachstehenden Muster ein (s. Arbeitstabelle 1). Diese führt für die in Untersuchung gezogene Aktie in Aufeinanderfolge eine Zeitreihe von 13 verwirklichten Monatsschlusskursen vor, wie sie auf Spalte 2 der Tabelle vermerkt sind. Die Kurse mögen aus einer Zeitspanne stammen, die sich vom vorjährigen Dezember (erste Zeile unter den beiden Kopfzeilen) bis Dezember des Folgejahres erstreckt (letzte Zeile). Der Aufeinanderfolge der Monatsschlusskurse der Aktie wird in Spalte 3 für den gleichen Zeitraum die Aufeinanderfolge der Monatsschlussstände eines als repräsentativ betrachteten Aktienindex zur Seite gestellt. Aus den einzelnen Kurs- und Indexständen werden als Nächstes die entsprechenden Monatsrenditen von Aktie und Index berechnet. Wir erhalten hiernach je 12 Renditegrößen, die in den Spalten 4 und 5 der Arbeitstabelle einander gegenübergestellt wurden. Von Dividendenzahlungen, Bezugsrechtserlösen und sonstigen Erträgnissen, die dem Grundsatz nach mit in die Untersuchung einzubeziehen wären, sei der Einfachheit halber abgesehen. Die in den Kolonnen 6 und 7 der Tabelle unter der Überschrift "Überrendite" eingetragenen Vomhundertsätze ergeben sich aus dem Unterschied der jeweiligen Monatsrenditen zum sicheren Anlagezinssatz. Als Sicherheitszinssatz sei in unserem Beispiel ein Zinsfuß von nominal 3 % aufs Jahr (p.a.) berechnet (bzw. 0,25 % für den Monat) angenommen.

 

 

 

 Festgeld Skyscraper

 

 

 

 

1 2 3 4 5 6 7
Monat Aktienkurs Indexstand Rendite der Aktie Rendite des Index Überrendite der Aktie Überrendite des Index
12 21,00 € 3000
1 21,70 € 3090 3,3333 % 3,0000 % 3,0833 % 2,7500 %
2 23,50 3190 8,2949 % 3,2362 % 8,0449 % 2,9862 %
3 25,80 3300 9,7872 % 3,4483 % 9,5372 % 3,1983 %
4 25,50 3290 – 1,1628 % – 0,3030 % – 1,4128 % – 0,5530 %
5 27,00 3400 5,8824 % 3,3435 % 5,6324 % 3,0935 %
6 25,00 3310 7,4074 % – 2,6471 % – 7,6574 % – 2,8971 %
7 25,00 3200 0,0000 % – 3,3233 % – 0,2500 % – 3,5733 %
8 24,50 3250 2,0000 %  1,5625 % – 2,2500 % 1,3125 %
9 26,00 3400 6,1224 % 4,6154 % 5,8724 % 4,3654 %
10 25,80 3360 – 0,7692 % – 1,1765 % – 1,0192 % – 1,4265 %
11 27,30 3500 5,8140 % 4,1667 % 5,5640 % 3,9167 %
12 28,60 3600 4,7619 % 2,8571 % 4,5119 % 2,6071 %

Arbeitstabelle 1

 

Nun wird die Überschussrendite der Aktie gleich Y, die Überschussrendite des Index gleich X gesetzt, und daraufhin die Werte für und sowie für X * Y ausgerechnet. Die in den einzelnen Tableau-Spalten figurierten Zahlenreihen sind hernach noch zusammenzuaddieren, wie die letzte Zeile der folgenden Arbeitstabelle im Zifferergebnis ausweist (der leichteren Übersicht wegen gerundet auf 4 Nachkommastellen).

 

Monat Überrendite Aktie = Y Überrendite Index = X X * Y
1 3,0833 % 2,7500 % 9,5069 7,5625 8,4792
2 8,0449 % 2,9862 % 64,7209 8,9177 24,0241
3 9,5372 % 3,1983 % 90,9588 10,2290 30,5027
4 1,4128 % 0,5530 % 1,9960 0,3058 0,7813
5 5,6324 % 3,0935 % 31,7234 9,5695 17,4235
6 7,6574 % 2,8971 % 58,6359 8,3929 22,1840
7 0,2500 % 3,5733 % 0,0625 12,7682 0,8933
8 2,2500 % 1,3125 % 5,0625 1,7227 – 2,9531
9 5,8724 % 4,3654 % 34,4857 19,0566 25,6355
10 1,0192 % 1,4265 % 1,0388 2,0348 1,4539
11 5,5640 % 3,9167 % 30,9576 15,3403 21,7922
12 4,5119 % 2,6071 % 20,3573 6,7972 11,7632
SUMME 29,6567 15,7799  349,5063  102,6972  161,9797

Arbeitstabelle 2

 

Eine gebräuchliche auf die Herleitung des Beta-Faktors β geprägte algebraische Formel lautet:

Beta = [(N * XY) – ( Y * X)] / [(N * X2) – ( X)2]

mit:

N : Zahl der Beobachtungsperioden,

: Summensymbol, wobei in unserem Rechenexempel die unter dem Summenzeichen stehenden Größen alle 12 Monate durchlaufen mögen.

Die vorstehende Formel baut auf der Definition von Beta: β = COVY,X / σ2X auf. Sie hat die geschätzte Kovarianz zwischen untersuchter Aktie und dem Index zum Zähler und die geschätzte Varianz des Index zum Nenner.

Wird von der abstrakten Formel auf die Wirklichkeit übertragen und werden die Daten aus der oben gegebenen Tabelle in die Formel eingesetzt, so erhält man durch Anwendung der Formel:

Beta = [(12 * 161,9797) – (29,6567 * 15,7799)] / [(12 * 102,6972) – (15,7799)2] = 1,5    .

Schlussergebnis: Der hier in Untersuchung stehenden Aktie ist nach der Formel ein ihr eigenes historisches Beta von +1,5 beizuzählen. Dieser Zahlenwert stellt den besten Schätzer für den wirklichen, jedoch nicht unmittelbar beobachtbaren Beta-Faktor der Aktie dar. Der in dieser Ziffer zum Ausdruck kommende empirische Gehalt lässt sich mit Worten übersetzt etwa folgendermaßen zusammenfassen: Jede Renditeänderung des Marktindex um einen gewissen Prozentsatz in dieser oder jener Richtung führt auf die Dauer und im großen Durchschnitt eine gleichgerichtete, jedoch überproportionale Renditeänderung der Aktie um das 1,5-fache mit sich ("aggressive stock"). Variiert die Rendite des Marktindex beispielsweise um einen vollen Prozentpunkt, kann unter sonst gleichbleibenden Kausalverhältnissen mit vernünftigem Grund von einer gleich ausgerichteten Renditebewegung der Aktie um 1,5 Prozentpunkte ausgegangen werden.

Unserm tabellarischen Beispiel wurde der Anschaulichkeit halber eine Stichprobe von lediglich 12 Vergangenheitsrenditen zugrunde gelegt. Um indes eine zumindest halbwegs zuverlässige Aussage über den "wahren" Wert des einer unmittelbaren Beobachtung allerdings entrückten Beta-Faktors einer in Frage stehenden Kapitalanlage allein aus vergangenen Renditegrößen treffen zu können, wird im Schrifttum die Anleitung gegeben*, im Falle von Aktien als Untersuchungsgegenstand mindestens 300 aufeinander folgende Monatsrenditen in die statistische Aufbereitung einzubringen. Zwar stellt in Anbetracht moderner leistungsfähiger Hilfsmittel der Kalkulation eine solche vorauszusetzende Informationsanforderung in unseren Tagen an sich kein Hindernis mehr dar; doch mit der empirisch mehr als fragwürdigen Annahme der "intertemporalen Stationarität" entscheidungsrelevanter Größen, also der Stabilität der Renditeerwartungen und deren korrespondierendem Beta-Faktor in der Zeit, gibt der vorstehende Ansatz sich ohne Zweifel eine starke Blöße. Denn bei der Bestimmung von β aus historischem Kursmaterial wird ja implizit unterstellt, dass Beta auf die Länge der Zeit konstant bleibt. Blieben sämtliche den Beta-Faktor bestimmende Größen tatsächlich von Periode zu Periode konstant, so ließe sich β aus einer hinreichend großen Zahl vergangener Kursdaten mit trefflicher Aussagekraft abschätzen.**

[* Vgl. Jobson, J. D., Korkie, B.: "Estimation for Markowitz Efficient Portfolios.", in: Journal of the American Statistical Association 75, no. 371.]

[** Maßgeblichkeit vergangener Renditen für zukünftige Renditeverläufe und stochastische Unabhängigkeit der periodischen Renditeverteilungen ist hierbei überdies als zusätzliche Annahme zu unterstellen.]

Zur Beurteilung der Glaubwürdigkeit und Zuverlässigkeit (der "Signifikanz") berechneter Parameter wird häufig auf das statistische Maß des Standardfehlers zurückgegriffen: Unter den eben angeführten Voraussetzungen sagt das Maß des Standardfehlers aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2/3 der tatsächliche Beta-Faktor in einem Intervall von [β + 1 Standardfehler | β – 1 Standardfehler] gelegen ist.

Sowie die bestehenden Beta-Faktoren der einzelnen Aktiengattungen eines in eigener Weise zusammengesetzten Wertpapierportefeuilles ausgemittelt sind, ist es eine Sache einfachen mathematischen Kalküls, aus den nun rechnerisch bekannten Beta-Faktoren der Aktien auch das zugehörige Portefeuille-Beta βP zu errechnen: Das Portefeuille-Beta βP ergibt sich schlicht und einfach aus der mit den Portefeuille-Anteilen gewichteten Summe der einzelnen Wertpapier-Betas:

Portefeuille-Beta βp = xi * βi   ,

d.h., bei i = n  Aktien*:   βP = X1 * β1 + X2 * β2 + ... + Xn * βn   ,

mit xi = prozentualer Wert-Anteil des Portfolios (in dezimaler Schreibweise), der auf die Aktie i fällt, wobei sich die Gesamtheit der Anteile stets auf 1 summiert, also: xi = 1   .

[* Hinweis: Die Additivitätseigenschaft von Beta folgt aus der Lineraritätseigenschaft der Kovarianz.]

 

Aufzählung

Regressionsanalyse

Zur quantitativen Ermittlung historischer Betawerte von Wertpapieren bedient man sich häufig und gern der linearen Einfachregression ("Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen"). Graphisch erhält man auf der Basis gegebener Renditesequenzen (Tage, Wochen, Monate etc.) einen Standardschätzwert für den historischen β-Faktor als Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden (Ausgleichsgeraden; die sog. Ex-post-"characteristic line"; Marktmodell*) durch die Punktwolke der Renditepaare, indem in einer Zeichnung eines Streudiagramms die Überschussrenditen einer bestimmten Aktie i bzw. eines individuellen Aktien-Portefeuilles ip an der Ordinate gegen die Überschussrendite des Marktindex M an der Abszisse abgetragen (regressiert) werden (siehe nachfolgende Abbildung). Die Überschussrendite sei definiert als die rechnerische Differenz zwischen der Rendite der Aktie i bzw. des Marktindex M und dem Sicherheitszinssatz rf während eines bestimmten Betrachtungszeitraums, also derjenige Renditebetrag, der über die Rendite einer nominal risikolosen Anlage hinausgeht bzw. sie unterschreitet.

[* William F. Sharpe: "A Simplified Model for Portfolio Analysis", Management of Science, 1963, S.277 ff.]

 

Regressionsdiagramm Betafaktor

Abb.: Beispiel: Regressionsmodell

 

Formal gehorcht die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade der Gleichung:

ri – rf = αi + (Rm – rf) * βi + εi    ,

mit ri = Rendite des Wertpapiers i, rf = Sicherheitszinssatz, αi = Absolutglied des Wertpapiers i, Rm = Rendite des Marktindex, βi = Regressionskoeffizient Beta des Wertpapiers i, und εi = Störterm (gr. kl. Epsilon). Wie leicht zu durchschauen, gibt die Regressionsanalyse einen tiefergehenden Aufschluss über den Verlauf der funktionalen Abhängigkeit der Überrenditen der Aktie i bei alternativen Überrenditen des Marktindex M.

Der übergelagerte Störterm εi (Residuum) misst den Abstand der Punkte der Renditepaare von der Regressionsgeraden (nach obiger Abbildung in vertikaler Richtung). Jener Renditeteil lässt sich damit nicht linear durch den Marktindex erklären. Für den Störterm εi wird unterstellt, er sei normalverteilt mit der Standardabweichung σ, habe einen Erwartungswert von null und sei zu allen anderen Renditen und Störtermen unkorreliert, d. h. Cov (εi, εj) = 0, mit i ≠ j. Dies impliziert, dass Renditeänderungen des Wertpapiers i nur über den Marktindex M erklärt werden. Die exakte Lage der Ausgleichsgeraden wird formell in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑εi2) minimal wird.

Der Schätzwert αi lässt sich hierbei als durchschnittliche "unsystematische" Überrendite des Wertpapiers i ausdeuten. Dieser bildet den Wert des Ordinatenabschnitts mit der Regressionsgeraden. Für den Koeffizienten αi = (∑ Y / N) – (βi * ∑ X / N) erhält man: (29,6567 / 12) – (1,5 * 15,7799 / 12) = + 0,498 (gerundet). Hinweis: Wenn statt mit Überrenditen mit den ursprünglichen Renditen gerechnet wird, so hat dies merklich verzerrende Auswirkungen auf den erwartungstreuen Schätzwert für αi, während βi hierdurch kaum beeinflusst wird.

Ließe sich die Höhe der Überrenditen der Aktie i stets mit völliger Treue durch die jeweiligen Ausprägungen der Überrenditen des Marktindex erklären, so lägen alle durch Punkte im Diagramm dargestellten Renditepaare passgenau auf der Regressionsgeraden (in diesem Falle wäre εi jedes Mal gleich null). Da aber ein perfekter gleichbleibend gradliniger (linearer) Zusammenhang der Renditen in Wirklichkeit kaum anzutreffen sein wird, so werden die Renditepaare bald mehr bald weniger weit um die Ausgleichsgerade herum streuen.

Zur Gewinnung von Aussagen über die Güte des durch die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade beschriebenen linearen Zusammenhangs verhilft das in der Statistik allgebräuchliche Bestimmtheitsmaß R² (also der ins Quadrat erhobene Korrelationskoeffizient ki,m, d.h. R² = k²i,m), und nebstdem auch die Varianz des Störterms εi. Das Erstgenannte, das Bestimmtheitsmaß R², misst den Anteil der durch das Modell erklärten Renditeänderungen der Aktie i, der hierbei auf Änderungen der Renditen des Marktindex M zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1, mit Einschluss der Letzten. Je weiter R² sich dem Wert +1 annähert, desto näher rücken die beobachteten Renditepaare im Durchschnitt an die Regressionsgerade heran.

Das Bestimmtheitsmaß erhält man aus der gebräuchlichen Formel R² = β² * (σ²x/σ²y). Die Zahlen für den Illustrationsfall oben eingesetzt ergibt: R² = 2,25 * (7,45/25,11) = 0,668  (gerundet auf 3 Stellen rechts vom Dezimalzeichen). Rund 66,8 % der Schwankungen der Überrenditen der Aktie ließen sich demnach durch Schwankungen der Überrenditen des repräsentativen Index erklären.

Aufzählung

Grenzen für die Anwendung von β

Soll der mithilfe einer Regressionsanalyse ausgemittelte Stand des Beta-Faktors auch im praktischen Gebrauch Eingang in die Anlageentscheidung finden, so wird man sich klar vor Augen halten müssen, dass hierbei methodologisch stets von der Annahme einer im Zeitablauf gleichen, unveränderlichen Steigung der "characteristic line" (Stationaritätsannahme) und damit implizit auch von bis in alle Ewigkeit stationären Kausalverhältnissen ausgegangen wird. Solange die Struktur der Kausalität der Renditen zumindest in ihren Grundzügen aufrecht erhalten bleibt, mag diese Vorgehensweise vertretbar sein. Verbesserte, weil realitätsnähere Ergebnisse, verspricht indes der Einsatz von Adjustierungsverfahren für die auf empirischen Daten beruhende Schätzwerte (insb. "mean-reverting"-Verfahren und solche, die aktuelle bzw. kurzfristig zu erwartende Entwicklungen in angemessener Weise berücksichtigen, wie etwa sog. "multiple Regressionsansätze"). Eine solche Adjustierung zum Zwecke der Steigerung der Verlässlichkeit der Prognose künftiger Beta-Werte mittels eines zweckdienlichen Verfahrens wäre wahlweise in einem sich an die Ermittlung des historischen Beta-Faktors anschließenden Schritt vorzunehmen.

Es verdient zum Schluss noch einmal ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen zu werden, dass es geboten erscheint, bei sämtlichen der mit statistischen Verfahren ermittelten, auf Vergangenheitsdaten beruhenden Kennzahlen äußerte kritische Zurückhaltung im Hinblick auf ihre praktische Nutzanwendung zur Voraussicht der künftigen Entwicklung zu üben. Keine Kennzahl oder Formel, auch wenn sie noch so gefällig scheint, vermag die Zukunft zu entschleiern. Dem Praktiker werden mit allen Projektionen von Zahlenwerten auf die Zukunft bestenfalls Näherungsformeln für seine intendierten Anlageentscheidungen an die Hand gegeben; dies zumal alle realen Investitionsentscheidungen vorausgehende Prognosen, die sich auf historisch-statistische Kennzahlen, wie auf den Faktor Beta (β), stützen, schwerlich den im Sinne der Theorie für notwendig befundenen strengen Anwendungsvoraussetzungen und Messbarkeitsanforderungen zu genügen die Kraft haben werden.

 

  Fonds, Aktien, Optionsscheine, Zertifikate, Futures und Optionen - alles aus einer Hand!

  Bookmark and Share

 

zurück zu: Der Beta-Faktor - Theoretische Erwägungen

"Unmöglich also können irgendwelche Beweisgründe aus Erfahrung diese Ähnlichkeit des Vergangenen mit
dem Zukünftigen beweisen, denn alle diese Beweisgründe ruhen auf der Annahme eben jener Ähnlichkeit."
David Hume (1711-1776), englischer Philosoph, Ökonom und Historiker

 

Futures Optionen Hedging Märkte Themen Rat und Tipps Bücher Glossar Links

 

 

 

 

Diagramm

Home Feedback Inhalt Impressum Suchen Content

 

Ihre E-Mail mit Fragen, Anregungen, Kommentaren oder Verbesserungsvorschlägen zu dieser Webseite an: info-d1@deifin.de 
Vervielfältigung nur mit Genehmigung des Verfassers. Bitte beachten Sie auch den Disclaimer und Urheberrechtshinweis
© 2003
2017 Bert H. Deiters
 Für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehme ich keine Gewähr.
Fehler berichtigen.
Stand: 13. November 2017. Alle Rechte vorbehalten.