Der allgemeine "cost of carry"-Ansatz zur Preisbildung von Terminkontrakten

Bilden wir nunmehr die aus den Kernüberlegungen der vorstehenden Seite gewonnenen Einsichten über die Preisbestandteile eines Futures in der Fassung einer Bestimmungsgleichung ab, so gelangen wir formallogisch zum allgemeinen "Cost of carry"-Ansatz der Bepreisung von Terminkontrakten ("cost of carry relation"). Eine anschauliche, vornehmlich auf die Berechnung eines theoretisch richtigen ("Gleichgewichts"-) Futureskurses ("equilibrium price", "fair value") von Finanzinvestments wie auch von bewahrfähigen Investitionsgütern geprägte Gleichung lautet demnach:

Futureskurs = Cash-Kurs + Finanzierungskosten – Finanzerträge.

Da nun definitionsgemäß die in Ansatz zu bringenden "cost of carry" ("Haltekosten") eines gegebenen Kalkulationszeitpunktes in summa gleichkommen dem Differenzbetrag zwischen den auszahlungswirksamen antizipierten Finanzierungskosten ("pure carry") und den geldwerten Erträgen eines Effektivpostens ("carry return"), die sein Halten bis hin zum Laufzeitende eines darauf basierenden Terminkontraktes in Aussicht stellen (= Nettofinanzierungskosten; "carry spread"), erhält man für den (wieder auf eine Einheit des "underlying" bezogenen) "full-carry"-Futures-Preis folgerichtig den abkürzenden Ausdruck:

Futureskurs = Cash-Kurs + "cost of carry".

Spiegeln nun die wirklichen Marktverhältnisse die eben hergeleitete förmliche Schlüssigkeit in ihrer Kernaussage unverrückt wider, so wird sich infolge davon auch der Unterschied zwischen dem Kurs am Kassa- oder Spotmarkt und dem Futureskurs (= Basis) den Haltekosten betragsmäßig gleichwertig setzen. Man beachte, dass auf echte Märkte berechnet die (antizipierten) "cost of carry" in ihrem Belauf bei dem allem keineswegs blindlings als sichere Größen vorausgesetzt werden dürfen; denn wirtschaftliche Kosten und Erträge pflegen bekanntlich ebenso wie Spotmarkt- bzw. Kassapreise als auch Zinssätze der verschiedenen Fristigkeiten im Zeitablauf mehr oder minder starken Schwankungen zu unterliegen. Besonders im Falle von Welthandelswaren ("commodities") kann es mitunter zu vermehrten Schwierigkeiten führen, mit Rücksicht auf die Vielzahl an zum Teil versteckten Kostenbestandteilen das jeweils richtige Maß der "cost of carry" auszumitteln.

Eine logisch zwingende Folge aus den vorangehenden Überlegungen ist es nun, dass je kürzer (länger) die Restlaufzeit eines Futures wird und je tiefer (höher) der maßgebliche Zinssatz für die sichere Geldanlage sich stellt, desto niedriger (höher) werden – bei sonst feststehenden Kosten und Erträgen, und bei alledem auch weitestgehend unabhängig vom derzeit herrschenden Kursniveau – die Nettofinanzierungskosten eines Gutes ("cost of carry") anzuschlagen sein. Je näher (weiter) also der vorgesehene Erfüllungstermin in der Zukunft liegt, umso geringer (höher) ist der Auf- bzw. Abschlag eines Futureskurses von Investitionsobjekten zum jeweiligen Kassamarktpreis. Dieser elementare markttechnische Zusammenhang zwischen Restlaufzeit, Sicherheitszinssatz und Nettofinanzierungskosten bleibt sinngemäß aufrecht auch in Bezug auf den Umfang der Basis als Differenz von Cash-Kurs und Futureskurs. Die Basis wird bei marktgerechter Bewertung in einem "full carry market" somit maßgeblich durch die Nettofinanzierungskosten bestimmt.

Durch die mit abnehmender Restlaufzeit eines Futures sinkenden Finanzierungskosten und sinkenden Erträge aus einem physisch gehaltenen Marktgegenstand (Effektivposition) sind nebstdem die Bestimmungsgründe für die bis zum Erreichen der Fälligkeit gegen null konvergierende (Liefer-) Basis eines Terminkontrakts gelegt ("delivery-date-convergence", Basiseffekt, Konvergenzeigenschaft). Im Fälligkeitszeitpunkt eines Futures sind beide Positionen: der Direktkauf im Spotmarkt und der alternative "Terminkauf" (Long-Futures), aus finanzwirtschaftlicher Sicht äquivalent, Cash-Kurs und Futureskurs stimmen damit überein.*

[* Eine völlige Identität der Preise zum Erfüllungszeitpunkt muss sich nicht notwendig in jedem einzelnen gegebenen Fall behaupten. Infolge bestimmt vorgegebener Lieferoptionen ("delivery options") mannigfacher Art können sich zum Regulierungszeitpunkt durchaus geringfügige Preisunterschiede einspielen. Bei Licht besehen, kann man sich allenfalls berechtigt halten, von einer unverkennbaren Grundrichtung hin zur Wertgleichheit zu reden. Gehen indessen zum Fälligkeitszeitpunkt Barpreis und Futureskurs in ihrer Höhe über ein gewöhnliches Maß hinaus sichtlich auseinander, so werden augenblicklich Arbitrageure auf den Plan treten im Verfolg der Absicht, die daraus erwachsenden und einmal als einträglich klar erkannten Transaktionen im Markt erfolgreich für sich umzusetzen, so lange, bis aufgrund wirkender Marktkräfte die Kurse sich wieder auf einen wirtschaftlich sinnvollen Stand eingependelt haben. Erst nachdem sämtliche Arbitragegewinne bis zur Neige abgeschöpft werden konnten, vermag ein arbitragefreies Gleichgewicht am Ende wieder Platz zu greifen.]

Die Haltekosten "cost of carry" C fassen alle oben benannten Finanzierungskosten (Zins- und Lagerhaltungskosten, Versicherungs- und Transportkosten u.a.m.) und Erträge ("asset income": Dividenden-, Zins-, Leasingeinnahmen u.a.), jeweils ausgedrückt in absoluten Größen, saldiert in einem Geldbetrag zusammen. Die "cost of carry" c als Kostensatz genommen, also nunmehr ausgedrückt als Parameter: eine in Prozenten vom Marktwert des Underlying genommene und aufs Jahr berechnete Größe (% p.a.), setzten sich demgemäß im Einzelnen aus folgenden Bestandteilen und Teilbeträgen zusammen:

dem Satz für Zinskosten i (d. i. der Finanzierungskostensatz einer Kreditfinanzierung des fraglichen Gutes unter Sicherheit bzw. im Falle einer Eigenfinanzierung dem Ertragssatz für entgangene Zinseinnahmen (Opportunitätskosten) der besten alternativen Mittelverwendung, jeweils unter Zugrundelegung des vorliegenden Sicherheitszinssatzes), zuzüglich dem

Lagerhaltungskostensatz l (resp. dem Satz für die Depotverwaltungsgebühren), einschließlich dem Satz für Wartungs-, Versicherungs- und Transportkosten,

abzüglich aller Erträge e, dem Ertragssatz aus dem Besitz eines Investitionsgutes, der sich gesondert herleitet aus Dividenden, Bezugsrechten, Kuponzahlungen, Stückzinsen, Verleihgebühren usw.

Werden die vorstehend namhaft gemachten Kosten- und Ertragsbestandteile summarisch zu einer einzigen Größe zusammengefasst, so erhalten wir den "cost of carry"-Satz, symbolhaft abgebildet durch c. Der algebraische Ausdruck für diesen Zusammenhang lautet im Anschluss daran:

c = i + l – e   .

Ganz offenbar spielen die Finanzierungskosten i bei Produktiv- und Genussgütern eine weitaus geringere Rolle als bei Investitionsobjekten des Finanzmarktes.

Beispiel: Beim DAX^®-Futures* fällt c mit dem Sicherheitszinssatz i zusammen, womit gilt: c = i. Denn bei seiner Berechnung wird der DAX^® konzeptionsbedingt um allfällige Kapitalmaßnahmen berichtigt, mit dem Schlusserfolg, dass von derlei Maßnahmen ausgehende Auswirkungen auf seinen Stand durchweg ohne Belang bleiben. D.h. aufgrund der für den DAX^® geltenden Wiederanlageprämisse, die im Übrigen bezeichnend ist für jeden "total return index" (auch "performance index" genannt), sind zu seiner Konstruktion weder besondere Ertragskomponenten, wie z.B. Bardividenden-, Bezugsrechtseinnahmen oder Boni, geschweige denn irgendwelche zusätzlichen Kosten, etwa für eine Lager- oder Depothaltung oder Ähnliches, gesondert in Anschlag zu bringen.

[* Der DAX^®-Futures gründet, wie der Name bereits andeutet, auf dem Deutschen Aktienindex DAX^®, der seinerseits die Wertentwicklung (Performance) der 40 wichtigsten deutschen Aktiengesellschaften nachvollzieht.]

Anders beim Standard & Poor's 500 Aktienindex: Zur Berechnung seines Indexstandes wird unterstellt, dass unter Verzicht auf eine Wiederanlage in das Indexportfolio sämtliche Dividendenauszahlung und sonstige Zahlungen aus Nebenrechten unmittelbar zur Ausschüttung an den Investor gelangen (bei dieser Art Index spricht man von einem Kursindex, "price index"). Demnach gilt für die "cost of carry" beim S&P 500 im Rahmen der rechnerischen Bestimmung seines "fair value"-Futureskurses: c = i – e. Bei Edelmetallen dagegen erhält man (unter Einbeziehung von Bewahrungskosten dauerbarer Anlagegüter): c = i + l.

Die in abkürzende Symbolschreibweise eingekleidete allgemein gebräuchliche mathematische Ausdrucksweise für den theoretisch korrekten Futureskurs F₀ ("fair value") von Investitionsobjekten (und überdies auch von aufspeicherbaren Konsumgütern in einem "full-carry"-Markt), bezogen auf einen beliebigen Betrachtungszeitpunkt t₀ und unter Berücksichtigung von Kosten, Erträgen sowie des Zeitwertes des Geldes, lautet sonach:

F₀ = K₀ × (1 + c)^t   ,

oder in Worten weniger logisch exakt, aber anschaulicher: Futureskurs F₀ gleich Cash-Kurs K₀ plus absolute "cost of carry" C.

Als weitere Implikation aus der Formel ergibt sich der "implizite Finanzierungskostensatz c_i" ("implied repo rate"), wenn man den Futureskurs durch den Cash-Kurs teilt und davon eins subtrahiert: F₀ / K₀ − 1 = c_i. Freilich, in effizienten Märkten muss sich der implizite Finanzierungskostensatz c_i den tatsächlichen Nettofinanzierungskosten c genau gleichstellen.

Es folgt beispielhaft eine genaue Aufschlüsselung der "cost of carry" für Aktienindex- und für Rentenmarkt-Futures.

Für Aktienindex-Futures besteht demgemäß allgemein der folgende Zusammenhang:

Aktienindex-Futureskurs bzw. Wert ("fair value") =

 dem Handelsverkehr entnommener, festgestellter Kassastand des zugrunde liegenden Aktienindex

+ [Zins- und Depotkosten für das Halten des hypothetischen Aktienindex-Portfolios, und zwar einheitlich zur Dauer der Restlaufzeit des Futures berechnet nach dem kurzfristigen Geldmarkt-Referenzzinssatz i ("spot rate") für sichere Anlagen]

− [Dividendenzahlungen, Bezugsrechtserlöse und sonstige erwartete Erträge aus dem Aktienportfolio, wie bspw. aus Wertpapierleihgeschäften, oder auch Zinserträge aus der Wiederanlage der Erträge E zum Referenzzinssatz i während der Laufzeit des Futures].

[Anmerkung: Dividendenzahlungen, Bezugsrechtserlöse oder andere veräußerbare Kapitalmarkttitel sowie sonstige Erträge aus Nebenrechten werden natürlich nur dann subtrahiert, sofern es sich hierbei nicht um einen "total return index" handelt.]

Für alle Zins-Futures auf festverzinsliche Wertpapiere gilt analog dazu allgemein:

Futureskurs einer festverzinslichen Anleihe ("fair value", um den Konvertierungsfaktor korrigiert) =

dem Handelsverkehr entnommener, festgestellter Kassakurs der zugrunde liegenden festverzinslichen Anleihe (bei synthetischen Anleihen dient als Referenz immer die am billigsten zu liefernde Anleihe: die sog. "CTD-Anleihe")

+ [Zins- und Depotkosten für das Halten des Anleiheportfolios, und zwar zur "spot rate" mit einer Laufzeit, die der Restlaufzeit des Futures entspricht, sich also auf das kurze Ende der Zinsstrukturkurve bezieht]

− Stückzinserträge der CTD-Anleihe

− sonstige Erträge aus dem Anleiheportfolio, welche bis zum Erfüllungstermin des Futures anfallen.

Aktienindex-Futures bringen im Regelfall in der Summe positive "cost of carry" (negative Basis) hervor; denn die Finanzierungskosten, die für das Halten eines Aktienportfolios anschlagen, überwiegen fast immer die in Form von Dividenden, Bezugsrechtserlösen, Boni usw. zufließenden Erträge, wodurch der Futureskurs auf einen höheren Stand zu stehen kommt als der Kassastand des Index. Demnach wird der Futureskurs c.p.* umso höher notieren, je höher der Stand des zugrunde liegenden Kassa-Index, je höher der risikolose Geldmarktzinssatz und je niederer die Dividenden- und sonstigen Erträge aus dem Besitz des Aktien-Portfolios zu Buche schlagen, et vice versa.

[* c. p. = Ceteris-paribus-Klausel; sie steht für das Ausbleiben den Illustrationszweck störender Einflüsse und Verwicklungen. Durch die Ceteris-paribus-Klausel ist − bis auf die erklärende Variable − alles Übrige als konstant vorausgesetzt.]

Im Falle von Futures auf Anleihen ist dagegen im Hinblick auf das aktuelle Zinsgefüge zu differenzieren: Liegt eine "normale Zinsstrukturkurve" vor, so resultiert ein Nettoertrag aus dem Halten des Anleiheportefeuilles, da die Stückzinserträge (welche ja bei Bonds das lange Ende der Zinsstrukturkurve betreffen) den Zinsaufwand für eine kurzfristige Finanzierung des Anleiheportfolios überflügeln. Der Futureskurs wird demzufolge mit einem Abschlag ("discount") zum (bereinigten) Kassapreis der CTD-Anleihe notieren. Bei Vorliegen einer "inversen Zinsstrukturkurve" hingegen übersteigen die Zinssätze am kurzen Ende in ihrer Höhe die Zinsen am langen Ende. Positive Nettofinanzierungskosten sind hier als Grund anzuführen, weshalb ein Futureskurs eines solchen Instruments einen Aufpreis (Prämie, "premium") zum zugehörigen Kassakurs der zugrunde liegenden lieferoptimalen Anleihe (CTD-Anleihe) aufweist.

Augenfällig ist hierbei, dass der rechnerische Terminkurs ("fair value") nicht, wie man leicht meinen könnte, in gerader Linie abhängig ist von den Risikoneigungen der Marktbeteiligten*. Auch spielen, wenn man genauer zusieht, unter dem "cost of carry"-Modell zur Preisbildung Erwartungen (Wahrscheinlichkeitsannahmen) des Marktpublikums über den zukünftigen Cash-Preis des untergebenen Vermögensgegenstandes ("underlying") oder über die Volatilität und deren Änderung keine primäre Rolle. Vielmehr beruht der "fair value" hier allein auf dem Prinzip der Arbitragefreiheit. Diese Eigenschaft kennzeichnet den substanziellen Unterschied bei der Bepreisung von Forward- und Futures-Kontrakten auf Investitionsgüter gemäß dem "cost of carry"-Ansatz gegenüber dem Preisbildungsprozess von Commodity-Futures auf nicht lagerfähige Waren und freilich auch von Optionen (Optionspreisen, Prämien).

[* Da hierzu bislang überzeugende Modellbildungen fehlen, ist insbesondere die Frage noch nicht befriedigend gelöst, inwieweit ein Teil der Differenz zwischen Futureskurs und Cash-Preis als Risikoprämie aufzufassen ist.]

Dem "cost of carry"-Ansatz, der vornehmlich auf Futures auf Investitionsobjekte und lagerfähige Wirtschaftsgüter Anwendung findet, steht die sogenannte Erwartungstheorie ("expectations hypothesis") als ein zweiter Erklärungsansatz gegenüber. Von Seite des Letztgenannten her liegt immer dann ein Marktgleichgewicht zwischen dem Terminmarkt und dem Markt für Geschäfte zur unverzüglichen Lieferung vor, wenn der jetzige Preis eines Futures sich dem künftigen (unsicheren) Cash-Preis im Effektivmarkt des ihm unterliegenden Gutes im Zeitpunkt der Terminfälligkeit des Futures genau gleichstellt. Beide Ansätze bezeichnen in den finanzwirtschaftlichen Lehrtexten gleichermaßen einen "arbitrage-freien Markt".

In einem arbitragefreien Markt für Investitionsobjekte ("capital assets") eines gegebenen Zeitpunktes t = 0 vor dem Regulierungstag des Futures werden Basis B (als arithmetische Differenz zwischen Cash-Preis K und Terminkurs F) und Nettofinanzierungskosten C dem Betrag nach völlig genau übereinstimmen. Durch Umstellung unserer Gleichung F₀ = K₀ × (1 + c)^t erhalten wir: K₀ – F₀ = – K₀ × c. Der Preis eines Futures F₀ entspricht unter Gleichgewichtsverhältnissen endlich seinem rechnerisch fairen Wert.

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Futures auf Konsumgüter und "cost of carry"