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  Bestimmung des "hedge ratio" h

 

Aufzählung

Zur Ermittlung des "hedge ratio" h

Die im Vorausgehenden erörterten Grundtatsachen über den Hedge-Quotienten ("hedge ratio" h) erübrigen noch, sich darüber auszusprechen, wie das so beschaffene Absicherungsverhältnis zu rechnungsmäßigem Ausdruck zu bringen und zu deuten ist.

Hauptzweck des "hedge ratio" h ist die Ergründung des am meisten zu empfehlenden Aufbaus für einen infrage stehenden Hedge-Posten. Der erst der Bestimmung bedürftige Ziffernansatz des Hedge-Quotienten gibt Auskunft über die Gewichtung der an einem Hedge maßgeblich einbezogenen Teilkräfte, d.i. die beim Hedging einzusetzende Zahl von Futures-Kontrakten im Verhältnis zum Umfang des im Effektivmarkt abzusichernden Risikopostens. Ist es das erklärte Ziel des Kursversicherers, das Preisrisiko aus dem Grundgeschäft in seinen gesamten Ausmaßen zu bedecken, es mithin aus seiner Wirtschaft gewissermaßen herauszulösen, so ist zu fordern, dass den durch Marktpreisbewegungen ausgelösten Wertänderungen beim Hedge-Objekt nach Möglichkeit gleich hohe Wertänderungen bei den zu Sicherungszwecken verwendeten Terminkontrakten (dem Hedge-Instrument) gegenüberstehen ("monetäre Äquivalenz"). Erst unter dieser Voraussetzung bietet der spezifische Aufbau des Hedge-Postens als Ganzes die Gewähr dafür, dass nicht nur jede Wertänderung bei den Terminkontrakten sich dem Betrag nach jeder Wertänderung des Grundgeschäfts gleichstellt, sondern jedes Mal auch in derselben Höhe entgegengerichtet verläuft.

Das "hedge ratio" h sei förmlich definiert durch

h = NF/Kn   ,

mit:

NF : Nominalwert, den die eingesetzten Futures-Kontrakte insgesamt verkörpern (= Position in Futures), und

Kn : Gesamtumfang des Effektivpostens ("exposure" im Hedge-Objekt), der abgesichert werden soll.

Die vorstehenden Größen NF und Kn sollen für die Dauer des Hedge konstant bleiben. Den Zahlenangaben im vorangegangenen Beispielsfall treubleibend decken somit 1000 auf Termin verkaufte Feinunzen Gold (NF =1000, repräsentiert von insgesamt X = 10 COMEX-Gold-Futures-Kontrakten) den Absicherungsbedarf aus dem Effektivposten von ebenfalls 1000 Feinunzen Gold (Kn). Ergo erhält man ein Hedge-Verhältnis h von genau 1.

Dem Hedge-Verhältnis fällt die Aufgabe zu, die unterschiedlichen Preiselastizitäten* im Cash- und Futures-Markt in einem zweckentsprechenden Verhältnis auszugleichen. Es misst zu diesem  Zweck die Empfindlichkeit (Sensitivität) der Preisänderungen der zu hedgenden Position in Relation zu den Kursänderungen des Futures. Änderte sich beispielsweise der Kurs des sicherungsbedürftigen Spotmarkt-Instruments im Durchschnitt um das 1,2-fache der Kursänderungen des Futures, so ist zur Minimierung des Preisrisikos ein h von 1,2 am Platze, auf dessen Grundlage dann die notwendige Anpassung der Position vorzunehmen wäre. D.h. zur Ausschaltung des Preisrisikos wären in diesem Fall exakt 1,2 Futures-Kontrakte je abzusicherndem Posten im Umfang eines Nominalwerts des Futures einzusetzen. Insoweit misst h die Zahl der zu kaufenden bzw. verkaufenden Futures-Kontrakte (das Kontraktvolumen in Long- bzw. Short-Futures) je Kontrakteinheit des Hedge-Objekts.

[* Unter Preiselastizität versteht man hier allgemein das Verhältnis der relativen (empirischen) Veränderungen in den Preisen zweier Werte. Die Preiselastizität gibt Antwort auf die Frage, in welchem Maße sich der Preis ändert, wenn der andere, in Beziehung stehende Preis sich um eine gegebene Preiseinheit ändert.]

Analytisch entspricht demnach das "minimum variance hedge ratio" hmin dem Verhältnis der Preisänderungen von Cash-Preisen ΔK zu den Preisänderungen der Futureskurse ΔF. Wir erhalten als Varianz-minimierenden Hedge-Quotienten somit den folgenden Ausdruck:

hmin = ΔK/ΔF = NFmin/Kn   .

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Nun aber lässt sich die optimale Anzahl von Futures-Kontrakten Xmin, die das Preisrisiko des Effektivpostens unter Berücksichtigung des Hedge-Verhältnisses hmin bis auf ein unvermeidbares zurücksetzt, auf einfache Weise ausrechnen. Die vorstehende Gleichung umgeformt ergibt:

(ΔK/ΔF) × Kn= NFmin   .

Da jedoch NFmin = Fn × Xmin, erhalten wir: Fn × Xmin = Kn × hmin. Und weiter:

Xmin = (Kn/Fn) × hmin   .

Diese Gleichung spielt uns nun das gesuchte Ergebnis ungezwungen in die Hand. Der hinter ihr stehende Sachverhalt besagt: Die das Kursrisiko minimierende Anzahl von Futures-Kontrakten Xmin ist übereinstimmend mit dem Verhältnis des Umfangs des Effektivpostens, der gesichert werden soll, zur nominalen Kontraktgröße des "underlying" eines Futures-Kontrakts multipliziert mit dem "minimum variance hedge ratio" hmin. Das "minimum variance hedge ratio" hmin seinerseits ist definiert als das Verhältnis der Cashkursänderungen zu den Futureskursänderungen.

Die praktische Implementierung eines Hedge gemäß dem zugedachten Hedge-Verhältnis macht es zunächst erforderlich, h auf rechnerischem Wege zu ermitteln. Je nach Art des Hedge-Objekts bieten sich hierzu unterschiedliche Kalkulationsverfahren an. Als Ausgangspunkt der Berechnung kann eine vorliegende Datenbasis von sich nicht kreuzenden historischen Kurssequenzen dienen, deren Dauer sich idealerweise mit der der gesamten Hedge-Periode deckt. Da Hedging praktisch jedoch immer zukunftsorientierte Werte voraussetzt, ist in einem nächsten Schritt eine geeignete Extrapolation des auf gegenwärtig wahrgenommenen oder vergangenen Kursdaten beruhenden Hedge-Quotienten in die Zukunft notwendig. Um also ein Optimum auch mit Gestaltungsanspruch bestimmen zu können, wäre mithin als nächstes die Frage zu erörtern: Wie lassen sich zukunftsbezogene Daten mit hinreichender Genauigkeit aus historischen Kursen herleiten?

 

Aufzählung

Regressionsanalyse

Zur Bestimmung desjenigen Hedge-Quotienten h, welcher in einem Hedge die Reduzierung des Preisrisikos auf das geringstmögliche Ausmaß verheißt, greift man üblicherweise auf grundlegende Techniken der Statistik zurück, namentlich auf die sogenannte Regressionsanalyse. Als zweckmäßiger Zeitraum für die einer Regressionsanalyse als Urmaterial dienenden historischen Ausgangsdaten hat sich in der Praxis die geplante Dauer der Aufrechterhaltung des Hedge-Postens gut bewährt. Die eigentliche Kalkulation ist dabei möglichst zeitnah vor der tatsächlichen Errichtung des Hedge durchzuführen, wodurch das Ergebnis der Rechnungsoperation im Markt seine reinste, unmittelbare Verwirklichung zu finden verspricht. Sind die Kursänderungen nach statistischen Gesetzen hierbei als normalverteilt zu aufzufassen, so lässt sich das "minimum variance hedge ratio" hmin definieren als Reagibilitäts- oder Sensitivitätsfaktor, dem die folgende logische Verknüpfung zugrunde liegt:

hmin = Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF) = (δk / δf) × ρk,f   *,

mit

Cov (ΔK, ΔF) : Kovarianz der Änderung der Cash-Kurse mit der Änderung der Futureskurse,

Var (ΔF) : Varianz der Änderung der Futureskurse,

δk   :    Standardabweichung der Änderung der Cash-Kurse,

δf    :    Standardabweichung der Änderung der Futureskurse, und

ρk,f  :    Korrelationskoeffizient zwischen der Änderung der Cash- und der Futureskurse,

gewendet auf den jeweiligen Zeitraum der Gesamtdauer des Hedge.

[* Für mathematische Details Teilnahme empfindende Leser der Hinweis: Man erhält die obige Lösungsgleichung, indem man die Varianz der Wertänderung des Hedge-Postens als Ganzes nach h ableitet und gleich null setzt. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist es offenbar, dass der Wert, den h minimiert, genau gleich ist dem Wert von Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF).]

Zeichnerisch dargestellt entspricht h dem Steigungsparameter der linearen Regressionsgeraden (β), den man erhält, wenn man in einem Regressionsdiagramm (Streudiagramm, "scatterplot") die Zeitreihe der Veränderungen der Cash-Kurse ΔK auf die Zeitreihe der Veränderungen der Futureskurse ΔF abträgt ("regressiert"). Letztere betreffen nicht die Renditen aus der Kontraktwertänderung des Futures, sondern ausschließlich die Veränderungen im Futureskurs selbst, einheitlich ausgerichtet auf die Laufzeit des Hedge. Die nach der "Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen" ermittelte lineare Regressionsgerade hat hierbei die folgende algebraische Schätz-Funktionsgleichung:

ΔK = α + ΔF × β + ε   ,

mit: α = Absolutglied, das im Falle vom h = 1 zugleich einen Schätzwert für die erwartete Basis bei Auflösung des Hedge abgibt; β = Regressionskoeffizient, der die Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden beschreibt, und ε = Störterm, dessen Quadrat zu minimieren Aufgabe ist.

[Hinweis: Der Störterm ε (Residuum) misst den Abstand der Punkte im Streudiagramm von der Regressionsgeraden (in vertikaler Richtung). Für den Störterm ε wird unterstellt, er sei normalverteilt, habe einen Erwartungswert von null und sei untereinander und zu allen anderen Kursen unkorreliert. Die exakte Lage der Regressionsgeraden wird in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑ε2) minimal wird.]

Aussagen zur Güte des linearen Zusammenhangs liefert das in der Statistik gebräuchliche Bestimmtheitsmaß (Determinationskoeffizient). R² lässt sich definieren als Quadrat des Korrelationskoeffizienten ρk,f, d.h. R² = ρ²k,f, wobei R² = [Cov (ΔK, ΔF)]2 / [Var (ΔF) × Var (ΔK)]. Das Bestimmtheitsmaß R² misst hierbei den Anteil der Änderungen der Cash-Kurse, der direkt auf Änderungen der Futureskurse zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1 einschließlich. Je weiter sich R² dem Wert +1 annähert, desto näher liegen die beobachteten Datenpaare im Durchschnitt an der Regressionsgeraden und desto stärker ist damit der Erklärungszusammenhang der untersuchten Zeitreihen. Da eine hohe Korrelation Voraussetzung ist für einen funktionstüchtigen Hedge (sie reduziert bekanntlich das Basisrisiko), sollte der dem Risiko abholde Disponierende (unter Beobachtung der Marktliquidität) unter diesen Umständen nur zu solchen Terminkontrakten Zuflucht nehmen, die unter den zur Auswahl stehenden die höchste Korrelation mit dem Hedge-Objekt aufweisen. Das Bestimmtheitsmaß R² lässt sich hierbei zugleich als ein Indikator für die zu erwartende Hedge-Effizienz ("hedge effectiveness") auffassen.

Der Zusammenhang zwischen Basisrisiko und originärem Preisrisiko ist, wie im Kapitel über das Basisrisiko skizziert, definiert durch den folgenden Ausdruck:

Var (B) = Var (K) × (1 – ρ2k,f)   .

Man erkennt daraus, dass aufgrund der vorliegenden Axiomatik das Basisrisiko Var (B) immer dann gleich null wird, wenn das Bestimmtheitsmaß R² = ρ2k,f den Wert +1 annimmt. Wenn hingegen R² gleich 0 ist, dann sind Basisrisiko und Preisrisiko identisch und der Hedge wird damit vollkommen ineffizient.

Welche Zahl hierbei ganz konkret für R² ≠ 1 als noch vertretbar und zulässig zu betrachten ist, mag individuell unterschiedlich beurteilt werden. Praktisch aber wird diese wohl vom Grad der persönlichen Risikoneigung abhängig sein, nicht minder als von der momentan erwarteten Marktentwicklung. Sollte indes in einem Anwendungsfall R² unterhalb von 0,4 gelegen sein, so lässt sich erfahrungsgemäß mit jenem Futures eine Genüge leistende Kurssicherung nicht mehr herbeiführen.

Alle vorstehenden Analysen und Aussagen zum Hedge-Verhältnis h gelten im Übrigen sinngemäß gleichermaßen für Anwendungsfälle eines "direct hedge" wie auch für jene eines "cross hedge".

Es sei abschließend ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen, dass eine auf Vergangenheitsdaten beruhende, mit statistischen Verfahren ermittelte Kennzahl, wie das "hedge ratio" h, bestenfalls eine Näherungslösung für das gesuchte (Ex-ante-) Hedge-Verhältnis darstellt. Als eine wichtige Voraussetzung für den Erhalt verlässlicher Werte sei hier insbesondere die der "Stationarität" von h in der Zeit hervorgehoben: Bliebe das Hedge-Verhältnis h von Periode zu Periode tatsächlich konstant, ließe es sich aus erfolgten Kursdaten zweifellos auch mit Anspruch auf Zuverlässigkeit schätzen. (Jedoch darf an diesem Ort nicht verabsäumt werden, auf weitere, zum Teil recht heroische Modellannahmen hinzuweisen: Neben einer strukturellen Identität des Futures sind insbesondere stochastische Unabhängigkeit der periodischen Verteilungen und Maßgeblichkeit vergangener Kursverläufe für zukünftige Kursverläufe zusätzlich zu unterstellen.)

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Fazit und abschließende Anmerkungen: Sei es im Hinblick auf die Fragestellung, ob es überhaupt zweckdienlich sei, eine neuerliche vertragliche Geschäftsverbindlichkeit einzugehen, sei es auf die Vorfrage, ob und bejahendenfalls inwieweit ein künftig daraus hervorgehender Risikoposten zu beherrschen sei: Im einen wie im anderen Fall erweist sich oftmals die Möglichkeit, ein durch Bindung an Verpflichtungen von ehedem ausgelöstes Preisrisiko zielbewusst zu steuern als ausschlaggebend für die Entscheidungsfindung. In diesem Verstand erweitert Hedging mit Futures als ein zusätzliches Durchführungsmittel den Handlungsspielraum des auf die Zukunft bedachten Disponierenden, weil es ihm eine willkommene Handhabe verschafft, ein aus dem Abschluss einer kontraktlichen Verpflichtung entstandenes unerwünschtes Preisrisiko in einem von ihm persönlich bevorzugten Ausmaß zu mindern. Besteht das Ziel bei der Vornahme einer Kurssicherung darin, das Basispreisrisiko der fraglichen Hedge-Position so gering als möglich zu gestalten, so steht und fällt die Durchschlagskraft eines Hedge mit der zutreffenden Schätzung des "hedge ratio" h: der zweckerfüllenden Zahl an einzusetzenden Futures-Kontrakten als Terminmarktanteil eines infrage stehenden Hedge-Postens. Zur Erreichung dieses Zieles ist eine sorgfältige Abwägung zahlreicher realwirtschaftlicher Einflussgrößen, zumal eine gründliche und richtige Analyse des gegenwärtigen und des in Zukunft zu gewärtigenden Preisgefüges, unverzichtbare Voraussetzung. Allein auf diese Weise lassen sich die vom Effektiv- und Terminmarkt ausgehenden Einflüsse ganzheitlich in den Kalkül einbeziehen und im Hinblick auf mögliche Auswirkungen auf Wertänderungen des Hedge-Postens dann auch gezielt steuern. Verlässliche Planungsdaten werden somit unverzichtbar.

Des Weiteren ist es – insbesondere für exportorientierte Unternehmungen – als unerlässlich anzusehen, im Vorwege jeder Einrichtung eines Hedgegeschäftes in jedem Einzelfall nicht nur die Auswirkungen von Zins-, Preis- und sonstigen Werteänderungen auf den Zielbeitrag des operativen Grundgeschäfts (der "gewöhnlichen Geschäftstätigkeit"), sondern darüber hinaus auch dauerhafte Änderungen der relevanten Spotmarkpreise und Kassakurse auf das über alle Risiken aggregierte Risikoumfeld im Ganzen auf systematische Weise abzuschätzen und auf der Grundlage eines bestehenden spezifischen Risikoprofils adäquat in die Planung mit einzustellen ("Hedging als strategisches Management-Instrument"). Nur auf diese Weise lässt sich über den Einsatz risikopolitischer Instrumentarien der Gesamtwert eines Unternehmens langfristig und dauerhaft steigern.

 

 

 

 

Lesen Sie auf der nächsten Seite:

Welche Rolle spielt beim Hedging die Laufzeit der verwendeten Futures-Kontrakte?

 

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Das älteste Buch über die Börse stammt von Don Joseph de la Vega:
"Confusion de Confusion", Amsterdam 1688.

 

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Stand: 20. November 2016. Alle Rechte vorbehalten.